lubinlonguepee
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Bonsoir, désolé de vous déranger mais je galère sur la toute fin d'un exercice de math (terminale spé math). Voici l'énoncé:
Soit pour tout n [tex]u_{n+1} = \frac{2u_{n}+v_{n}}{3}[/tex] avec u0=2 et [tex]v_{n+1} =\frac{u_{n}+3v_{n}}{4}[/tex] avec v0=10
Voici ce que j'ai démontré pendant l'exercice :
[tex]v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{5}{12} (v_{n}-u_{n})[/tex]
[tex]w_{n}=v_{n}-u_{n} = 8(\frac{5}{12} )^{n}[/tex]
[tex]u_{n}[/tex] est croissante et [tex]v_{n}[/tex] est décroissante
[tex]u_{n} \leq 10[/tex] et [tex]v_{n} \geq 2[/tex]
un et vn convergent en un meme reel

voilà les questions sur lesquelles je bloque :
Montrer que la suite (tn) définie par [tex]t_{n} =3u_{n}+4v_{n}[/tex] est constante
En déduire que la limite commune des suites un et vn est 46/7

Merci d'avance

Sagot :

Skabetix

Bonsoir,

1) tₙ₊₁ = 3uₙ₊₁ + 4vₙ₊₁ = 3 ×  (2uₙ + vₙ )/3 + 4 ×  (uₙ + 3vₙ)/ 4 = 2uₙ + vₙ + uₙ + 3vₙ

= 3uₙ+ 4vn = tₙ

2) t₀ = 3u₀ + 4v₀ = 3 × 2 + 4 × 10 = 46

∀n, on a 3uₙ + 4vₙ = 46 , ainsi Lim (n ⇒ +∞) 3l + 4l = 46 soit 7l = 46 ⇔ l = 46//7

Réponse :

tn = 3Un + 4Vn

tn+1 = 3Un+1 + 4Vn+1

       = 3(2Un + Vn)/3 + 4(Un + 3Vn)/4

       = 2Un + Vn + Un + 3Vn

       = 3Un + 4Vn

donc   tn+1 = tn  ⇒ (tn) est une suite constante

Explications étape par étape :

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