Réponse :
{U0 = 1
{Un+1 = 5Un/(2Un + 5)
on admet que, pour tout entier n ≥ 0, Un > 0
1) a) déterminer U1 , U2 et U3
U1 = 5U0/(2U0+5) = 5/7
U2 = 5U1/(2U1+5) = 5/9
U3 = 5U2/(2U2+5) = 5/11
b) la suite (Un) est-elle arithmétique ?
U1 - U0 = 5/7 - 1 = - 2/7
U2 - U1 = 5/9 - 5/7 = - 10/63
U3 - U2 = 5/11 - 5/9 = - 10/99
U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2 donc (Un) n'est pas une suite arithmétique
c) calculer 1/U0 ; 1/U1 ; 1/U2 et 1/U3 Que constate-t-on ?
1/U0 = 1
1/U1 = 7/5
1/U2 = 9/5
1/U3 = 11/5
on constate que l'inverse de U est une suite arithmétique de raison r = 2/5
2) Vn = 1/Un
a) montrer que (Vn) est une suite arithmétique
Vn+1 = 1/Un+1 = 1/5Un/(2Un + 5) = (2Un + 5)/5Un = 2Un/5Un + 5/5Un
= 2/5 + 1/Un = Vn + 2/5
Donc Vn+1 = Vn + 2/5 donc (Vn) est une suite arithmétique de premier terme V0 = 1/U0 = 1 et de raison r = 2/5
b) Vn = 1 + 2/5) n
Vn = 1/Un ⇔ Un = 1/Vn = 1/(1+2/5)n)
Explications étape par étape :
