Bonjour
On part d'un triangle équilatéral dont la mesure du côté est 1 cm. .
•On le partage en 4 triangles en joignant les milieux des côtés et on supprime le triangle central. Il reste alors trois triangles.
• Dans chacun d'eux, on réitère l'opération : on le partage en 4 triangles en joignant les milieux des côtés et on supprime le triangle central.
•Et ainsi de suite.
1. Combien de triangles verts obtient-on: a. à l'étape 4 ?
Étape 0 : 1 triangle
Étape 1 : 1 x 3 = 3^1 = 3 triangles
Étape 2 : 3 x 3 = 3^2 = 9 triangles
Étapes 3 : 9 x 3 = 3^3 = 27 triangles
Étape 4 : 27 x 3 = 3^4 = 81 triangles
b. à l'étape 20 ?
etape 20 : 3^(20) = 3 486 784 401
2. Quel est le périmètre de la figure verte:
a. à l'étape 2?
étape 0 : P = 3 x 1 = 3 cm
Étape 1 : P = 3 x 3 x 0,5 = 4,5 cm (côte = 1/2 = 0,5 cm)
Étape 2 : P = 3 x 3^2 x 1/2^2 = 6,75 cm
b. à l'étape 6?
étape 6 : P = 3 x 3^6 x 1/2^6 ~ 34,17 cm
3. À quelle étape le périmètre de la figure verte dépassera-t-il 1 000 km ? d'un tableur
P > 1000 km
3 x 3^n x 1/2^n > 100000000 cm
3 x (3/2)^n > 100000000
(3/2)^n > 100000000/3
Ln (3/2)^n > ln (100000000/3)
n ln (3/2) > ln (100000000/3)
n > ln (100000000/3) / ln (3/2)
n > 17,322/0,405
n > 42,77
À partir de l’étape 43, le périmètre a atteint 1000 km
