Réponse :
Explications étape par étape :
■ Fn(x) = x³ - 2nx + 1 sur [ 0 ; +1 ]
on note que x est toujours positif sur l' intervalle d' étude [ 0 ; 1 ]
on note également que n est un entier naturel
■ dérivée F ' (x) = 3x² - 2n
cette dérivée est positive pour x² > 2n/3
■ cas n ≥ 2 :
F ' (x) est positive pour x² ≥ 2n/3
d' où F ' (x) est positive pour x ≥ √(2n/3)
tableau de variation :
x --> 0 0,5 1
F ' (x) --> négative
F(x) --> 1 1,125-n 2-2n
■ cas n= 1 :
F ' (x) est positive pour x ≥ √(2/3)
tableau de variation :
x --> 0 √(2/3)≈0,8165 1
F ' (x) --> - 0 +
F(x) --> 1 -0,09 0
■ cas n = 0 :
x --> 0 0,5 1
F ' (x) --> toujours positive
F(x) --> 1 1,125 2
■ 2°) F(0) = 1 ; et F(0,5) = 1,125-n qui est négatif
comme la fonction F est toujours continue
et décroissante sur l' intervalle étudié [ 0 ; 1 ]
--> on peut admettre qu' il existe bien
une valeur précise de x appelée " a "
telle que F(a) = 0
( Théorème des Valeurs Intermédiaires ♥ )
■ 3°) exemple avec n = 3 :
F(0) = 1 ; et F(0,5) = -1,875
on trouve F(0,16744919) ≈ 0 ( grâce à la Casio25 ! ☺ )
d' où 0,167 < a < 0,168
0,280 < a² < 0,281
0,004 < a³ < 0,005
■ comparaison a^n et 1/n :
exemple pour n = 3 :
1/3 > a³
