Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
On va commencer par modifier l'écriture de U(n+1) avec Uo=5
U(n+1)=3-10/(Un+4)=(3Un+12-10)/(Un+4)=(3Un+2)/(Un+4)
1) On donne Vn=(Un-1)/(Un+2)
La suite Vn est géométrique si V(n+1)/Vn =constante
V(n+1)=[U(n+1)-1]/[U(n+1)+2]=[(3Un+2-Un-4)/(Un+4)]/(3Un+2+2Un+8)/(Un+4)
Après simplification par Un-4 il reste V(n+1)=(2Un-2)/(5Un+10)=
V(n+1)=2(Un-1)/5(Un+2)=(2/5)[(Un-1)/(Un+2)]
conclusion V(n+1)/Vn=2/5 . Vn est donc une suite géométrique de raison q=2/5 et de 1er terme Vo=(Uo-1)/(Uo+2)=4/6=2/3
Vn=(2/3)(2/5)^n
Vn étant le produit de deux termes <1, Vn ne peut pas être =1
la limite de Vn qd n tend vers +oo est 0 car la raison q est <1
si n tend vers +oo, q^n tend vers 0 et Vn tend vers 0
2) On sait que Vn=(Un-1)/(Un+2)
Vn(Un+2)=Un-1
Un(Vn-1)=-1-2Vn
Un=(-1-2Vn)/(Vn-1)= (2Vn+1)/(1-Vn)
Limite de Un
si n tend vers +oo, Vn tend vers 0 donc Un tend vers 1/1=1
limite de Un=1
