Réponse :
Salut !
1. Le terme général de la série [tex]\displaystyle \sum_{n\geqslant 2} \dfrac{n}{(n^2-1)^2}[/tex] est équivalent à [tex]\dfrac{1}{n^3}[/tex] quand n tend vers l'infini. Par théorème de comparaison des séries à termes positifs, cette série converge (comparaison à une série de Riemann convergente).
2. [tex]\dfrac{n}{(n^2-1)^2} = \dfrac{n}{(n+1)^2(n-1)^2} = \dfrac{-1}{4(n+1)^2} + \dfrac{1}{4(n-1)^2}[/tex]
3. [tex]\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n}{(n^2-1)^2} = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{-1}{4(n+1)^2} + \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{4(n-1)^2}[/tex] (on peut écrire ça parce que les 2 séries sont convergentes).
Avec changement d'indice :
[tex]\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n}{(n^2-1)^2} = \displaystyle -\dfrac14\sum_{n=3}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} + \dfrac14 \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}[/tex]
puis, en notant [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = S[/tex], (en réalité [tex]S = \dfrac{\pi^2}{6}[/tex]), on a :
[tex]\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n}{(n^2-1)^2} = -\dfrac14 \left(S - \dfrac14 - 1\right) + \dfrac14 \times S[/tex]
donc finalement :
[tex]\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n}{(n^2-1)^2} = \dfrac{17}{16}[/tex]
