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B. Calcul du nombre d'or.


Les Anciens ont cherché s'il existait des nombres, tels que :
a/b = (a+b)/a, ou encore : a/b = 1 + b/a (1)


En posant x = a/b, l'équation (1) devient : x = 1 + 1/x


1. Montrer que cette équation peut s'écrire : x² = x + 1. (2)


2. Montrer que le nombre 1 + V5 / 2 est une solution de l'équation (2). Donner une valeur arrondie, à 0.01 près, de 1 + V5 / 2

Sagot :

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Maanuela

Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport  entre deux longueurs  et  telles que le rapport de la somme des deux longueurs () sur la plus grande () soit égal à celui de la plus grande () sur la plus petite () c'est-à-dire lorsque . Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi).

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation . Il vaut exactement :

soit approximativement1 1,618 033 988 7.

Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une « arithmétique du nombre d'or », cadre de nombreuses démonstrations.

L'histoire de cette proportion commence à une période imprécise de l'antiquité. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des xixe et xxe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.

Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les capitules du tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la « beauté ». Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.

Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature [réf. nécessaire] car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

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