Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
On résout d'abord :
x²-2x-15 < 1 soit :
x²-2x-16 < 0 : expression négative à l'intérieur des racines.
il nous faut les racines de x²-2x-16=0.
Δ=b²-4ac=(-2)²-4(1)(-16)=68
√68=2√17
x1=(2-2√17)/2=1-√17
x2=1+√17
Donc x²-2x-16 < 0 pour x ∈]1-√17;1+√17[
On résout ensuite:
x²-2x-15 > -3 soit :
x²-2x-12 > 0 : expression positive à l'extérieur des racines.
Δ=(-2)²-4(1)(-15)=64
√64=8
x1=(2-8)/2=-3
x2=(2+8)/2=5
x²-2x-12 > 0 pour x ∈ ]-∞;-3[ U ]5;+∞[
Les deux conditions trouvées donnent comme solution pour l'encadrement donné :
x ∈ ]1-√17[ U ]5;1+√17[
Il faut placer les 4 valeurs sur une droite orientée pour t'y retrouver.
2)
On résout d'abord :
(3x²+1)/(x+7) < 7 ==>il faut x ≠ -7.
(3x²+1)/(x+7) -7 < 0
On réduit au même déno :
(3x²+1-7x-49)/(x+7) < 0
(3x²-7x-48) / (x+7) < 0
Il nous faut les racines du numé .
Δ=(-7)²-4(3)(-48)=625
√625=25
x1=(7-25)/6=-3
x2=(7+25)/6=16/3
Tableau de signes :
x----------------->-∞.................-7..............-3..............16/3................+∞
3x²-7x-48---->............+...............+.........0.....-..........0.........+.........
x+7-------->..............-................0.....+...........+....................+...........
Fraction-->.............-...............||........+......0....-........0........+..........
Donc (3x²-7x-48) / (x+7) < 0 pour :
x ∈ ]∞;-7[ U ]-3;16/3[
On résout ensuite :
(3x²+1)/(x+7) > 2 soit :
(3x²+1)/(x+7) - 2 > 0
Réduc au même déno :
(3x²+1-2x-14)/(x+7) > 0
(3x²-2x-13)/(x+7) > 0.
Il faut les racines du numé .
Δ=(-2)²-4(3)(-13)=160
√160=4√10
x1=(2-4√10)/6
x1=(2-2√10)/3 ≈ -1.44
x2=(2+2√10)/3 ≈ 2.77
Tableau de signes :
x----------------->-∞.............-7.................x1..................x2...................+∞
3x²-2x-13---->..........+...............+...........0........-.......0........+............
x+7------------>......-............0.....+.....................+..................+...........
Fraction----->.......-..........||........+.........0.........-........0........+.........
Donc (3x²-2x-13)/(x+7) > 0 pour :
x ∈ ]-7;(2-2√10)/3[ U ](2+√10)/3;+∞[
Les deux conditions trouvées donnent pour l'encadrement donné :
x ∈]-3;(2-2√10)/3[ U ](2+2√10)/3;16/3[
Tu as intérêt à vérifier car ce sont des calculs très délicats.
