Réponse :
1) a > 0 et b > 0 comparer 4/(a+b) et 1/a + 1/b
a > 0
b > 0
..................
a + b > 0 ⇔ 1/(a+b) > 0 ⇔ 4/(a+b) > 0
a > 0 ⇒ 1/a > 0
b > 0 ⇒ 1/b > 0
........................
1/a + 1/b > 0 ⇔ (b + a)/ab > 0
4/(a+b) > 0 ⇔ 4ab/(a+b) > 0 ⇔ (a+b)/4ab > 0
donc (a+b)/4ab < (b + a)/ab par conséquent 4/(a+b) < 1/a + 1/b
2) 0 ≤ a < b on pose A = √(a+1) - √(b+1) et B = √a - √b
a) déterminer le signe de A et B
a < b ⇔ a + 1 < b + 1 ⇔ √(a+1) < √(b+1) car a + 1 ≥ 0 et b+1 ≥ ≥0
donc √(a+1) - √(b+1) < 0 ⇔ A < 0
a < b ⇔ √a < √b car a ≥ 0 et b ≥ 0
donc √a - √b < 0 ⇔ B < 0
b) montrer que 0 < A/B < 1
A < 0 et B < 0 donc A/B > 0
Explications étape par étape :