Salut, voici comment faire :
Si ABCD est un parallélogramme alors ses cotés sont deux à deux de même longueur.
Décomposons les vecteurs :
[tex]\vec{AC}[/tex].[tex]\vec{DB}[/tex] = ([tex]\vec{AB}[/tex] +[tex]\vec{BC}[/tex]).([tex]\vec{DA}[/tex] + [tex]\vec{AB}[/tex])
De plus, on sait que [tex]\vec{BC}[/tex] = [tex]\vec{AD}[/tex] et que [tex]\vec{DA}[/tex] = [tex]\vec{-AD}[/tex]
Remplaçons maintenant dans l'expression :
[tex]\vec{AC}.\vec{DB}[/tex] = [tex](\vec{AB} + \vec{AD}).(\vec{-AD} + \vec{AB})[/tex]
Maintenant si on distribue on obtient :
[tex]\vec{AC}.\vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}).(\vec{-AD} + \vec{AB})[/tex]
[tex]= \vec{AB}.\vec{AB} - \vec{AB}.\vec{AD} + \vec{AD}.\vec{AB} - \vec{AD}.\vec{AD}[/tex]
= [tex]AB^{2}[/tex] - [tex](\vec{AB}.\vec{AD}) + (\vec{AD}.\vec{AB})[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex]
On a montré que [tex]\vec{AC}.\vec{DB}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex]
Voilà n'hésite pas si tu as des questions :)
