Explications étape par étape:
Bonsoir, je suppose que la question qui te pose problème, est localisée au 2e point.
Néanmoins, pour la 1re question, il suffit de calculer séparément les différentes égalités de phi.
Voici un exemple : Imaginons, tu dois montrer que 1 + 4 = 2 + 3 = 5.
Ton objectif, sera de calculer distinctement 1 + 4, puis conjointement 2 + 3, ensuite tu pourras conclure quant à égalité.
---> En appliquant ce principe ici, on calcule phi^2 (phi au carré) :
phi^2 = [ (1 + Rac(5)) / 2]^2
= [ (1 + Rac(5))^2 ] / (2^2) (propriété sur les puissances.
= (1/4) * [1 + 2*Rac(5) + 5] (identité remarquable).
= (1/4) * [6 + 2*Rac(5)]
= (1/4) * 2 * [3 + Rac(5)] (on factoriser par 2.
= [ (3 + Rac(5)) / 2].
Ensuite, on calcule phi + 1 :
Phi + 1 = [ (1 + Rac(5)) / 2] + 1
= [ (1 + 2 + Rac(5) / 2] (même dénominateur)
= [ (3 + Rac(5) / 2]
= Phi^2.
La première égalité requise de l'énoncé, est résolue.
---> Enchaînons sur la 2e égalité, méthode identique à la précédente :
1 / phi = 1 / [ (1 + Rac(5)) / 2] = 2 / [1 + Rac(5)].
En effet, diviser équivaut à multiplier par l'inverse.
Par ailleurs, Phi - 1 = [ (1 + Rac(5)) / 2] - 1
= [ (-1 + Rac(5)) / 2] après calculs.
À cette étape, l'interrogation est immédiate, pourquoi diable trouve-t-on un résultat différent ?
En réalité, ces 2 valeurs sont identiques, pour cela, il faut transformer l'expression de 1 / phi.
En effet, si tu multiplies 1 / phi par 1 - Rac(5) au numérateur ainsi qu'au dénominateur, tu ne changes pas sa valeur.
Par conséquent, au dénominateur, tu auras :
(1 + Rac(5)) * (1 - Rac(5)) = 1 - 5 = - 4.
Au numérateur : 2*(1 - Rac(5)).
Tu effectues le quotient, par simplification, tu auras [1 - Rac(5)] / (-2) = [-1 + Rac(5)] / 2. (si tu multiplies en haut et en bas par -1).
Conclusion : 1 / phi = phi - 1.
2- Question astucieuse ici. En effet, tu ne peux pas encadrer phi à l'arrache, au pif, avec calculatrice. Cependant, il t'est impossible d'y parvenir, car la présence de Rac(5), qui est un nombre irrationnel, pose souci.
Il faut donc préalablement, encadrer Rac(5).
Comment procéder ? En 2nde, tu ne disposes pas encore de méthode efficace (méthode de Heron, ou Newton). Tu peux juste, voir sur ta calculatrice, que Rac(5) vaut environ 2,236, il est donc compris entre 2,23 et 2,24.
On ajoute 1, donc 3,23 < 1 + Rac(5) < 3,24.
Puis on divise par 2, pour obtenir phi :
1,61 < Phi < 1,62. (tu peux vérifier sur ta calculatrice cet encadrement).
FIN.
---> Ton exercice est plutôt compliqué pour un lycéen en 2nde, tu étudies au sein d'un lycée prestigieux ?
