bjr
coup de pouce..
Q1
aire du carré EFGH = aire du carré ABCD - aire de 4 triangles rectangles
avec
aire de ABCD = 5 * 5 = 25
et
aire d'un triangle rectangle = 1/2 * x * (5 - x) = 1/2x (5 - x) = 5/2x - 1/2x²
donc on aura
aire EFGH = 25 - 4 * (5/2x - 1/2x²)
= 25 - 10x + 2x²
dans l'ordre..
aire EFGH = 2x² - 10x + 25
Q2
aire EFGH est de type : ax² + bx + c
donc ici sera représentée par une parabole en forme de U
=> calcul d'une aire minimale
soit
pour x = - b/2a (voir cours)
vous pouvez le calculer
Q3
résoudre 2x² - 10x + 25 = 14,12
donc résoudre 2x² - 10x + 10,88 = 0
vous trouvez les 2 racines avec le discriminant delta
Q4
résoudre 2x² - 10x + 25 ≤ 13
donc résoudre 2x² - 10x + 12 ≤ 0
=> 2 (x² - 5x + 6) ≤ 0
vous finissez par un tableau de signes après avoir trouvé les racines de x
Bonjour
Explications étape par étape :
Rappel
Aire d'un carré de coté c = c × c = c²
Aire d'un triangle = b × h/2 avec b la base et h la hauteur du triangle.
Nous avons un carré ABCD de coté c = 5 cm
et AE =BF = CG = DH = x
et AH = BE = CF = DG = 5 - x
Soit A = l'aire du carré EFGH
L'aire du carré EFGH est égal à :
A = la différence de l'aire du carré ABCD et l'aire des 4 triangles qui sont
HAE, EBF, FCG et GDH qui sont identiques
l'aire du carré ABCD = c × c = 5 × 5 = 25 cm²
L'aire des 4 triangles HAE, EBF, FCG et GDH est identique :
aire du triangle HAE = b × h /2 avec b = AE et h = HA
donc nous avons aire du triangle HAE = AE × HA /2
or AE = x et AH = 5 - x
donc nous avons l'aire du triangle HAE = x (5 - x)/2
Nous faisons de même pour les triangles EBF, FCG et GDH et nous obtenons :
aire du triangle EBF = x (5 - x)/2
aire du triangle FCG = x (5 - x)/2
et aire du triangle GDH = x (5 - x)/2
Ainsi l'aire du carré EFGH est égale à :
A = 25 - 4 × x (5 - x)/2 car on a
A = la différence de l'aire du carré ABCD et l'aire des 4 triangles qui sont
HAE, EBF, FCG et GDH qui sont identiques.
Donc A = 25 - 2x (5 -x)
A = 25 - 10x + 2x²
2) Pour que l'aire A soit minimale nous allons étudier la fonction suivante :
f(x) = 2x² - 10x + 25
f est une fonction dérivable sur IR
f'(x) = 4x - 10
f' s'annule si 4x - 10 = 0
si 4x = 10
si x = 10/4
si x = 5/2
tableau de signe de f
x - ∞ 5/2 + ∞
________________________________________________
f' - ⊕ +
________________________________________________
f décroissante croissante
la fonction f admet bien un minimum en x = 5/2
donc A = 2x² - 10x + 25 admet bien un minimum en x = 5/2
et la valeur de l'aire A minimale est
A = 2(5/2)² - 10 (2/5) + 25
A = 2 (25/4) - (2×5×2)/5 + 25
A = 25/2 - 4 + 25
A = 21 + 25/2
A = 42/2 + 25/2
A = 67/2 = 33,5 cm²
donc l'aire est minimale pour x = 5/2 et A= 33,5 cm²
3) Nous devons chercher la valeur de x tel que A = 14,12 cm²
donc nous avons A = 2x² - 10x + 25 = 14,12
ainsi 2x² - 10x + 25 = 14,12
2x² - 10x + 25 - 14,12 = 0
2x² - 10x + 10,88 = 0
Calculons le discriminant Δ = b² - 4ac
avec a = 2, b = - 10 et c = 10,88
Δ = (- 10)² - 4(2)(10,88)
Δ = 100 - 87,04
Δ= 12,96 > 0 donc √Δ = √12,96 = 3,6
donc l'équation 2x² - 10x + 10,88 = 0 admet 2 solutions
x₁= ( - b - √Δ)/(2a) et x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)
avec a = 2, b = - 10 et c = 10,88
x₁ = ( - (-10) - 3,6)/(2(2)) et x₂ = ( - (-10) + 3,6)/(2(2))
x₁ = (10 - 3,6)/4 et x₂ = (10 + 3,6)/4
x₁= 6,4/4 et x₂= 13,6/4
x₁ = 1,6 et x₂= 3,4
Les valeurs pour que l'aire A soit égale à 14,12 cm² sont x = 1,6 cm et x = 3,4 cm
4) Nous cherchons l'aire A ≤ 13 cm²
Nous avons donc A = 2x² - 10x + 25 ≤ 13
donc 2x² - 10x + 25 ≤ 13
donc 2x² - 10x + 25 - 13 ≤ 0
donc 2x² - 10x + 12 ≤ 0
Calculons le discriminant Δ = b² - 4ac
avec a = 2, b = - 10 et c = 12
Δ = (- 10)² - 4(2)(12)
Δ = 100 - 96
Δ= 4 > 0 donc √Δ = √4 = 2
donc l'équation 2x² - 10x + 12 = 0 admet 2 solutions
x₁= ( - b - √Δ)/(2a) et x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)
avec a = 2, b = - 10 et c = 12
x₁ = ( - (-10) - 2/(2(2)) et x₂ = ( - (-10) + 2)/(2(2))
₁ = (10 - 2)/4 et x₂ = (10 + 2)/4
x₁= 8/4 et x₂= 12/4
x₁ = 2 et x₂= 3
Étudiions le tableau de signes de A = 2x² - 10x + 12 ≤ 0
A peut s'écrire de la forme a (x - x₁)(x- x₂) avec a =2
donc A = 2(x -2)(x -3)
x - ∞ 2 3 + ∞
___________________________________________________________
2(x -2) - ⊕ + +
__________________________________________________________
x -3 - - ⊕ +
___________________________________________________________
A + ⊕ - ⊕ +
donc nous avons les solutions de A = 2x² - 10x + 12 ≤ 0 qui sont
S = [2;3]
donc les valeurs pour que l'aire A soit inférieure à 13 cm² est S = [2;3]