Sagot :
Réponse :
Bonjour !
Première partie :
1°/ Il faut construire la figure
2°/ D'après le théorème de Pythagore, lorsqu'un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la longueur des carrés des deux autres côtés du triangle.
Ici, le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore,
[tex]AB^{2}[/tex] + =[tex]AC^{2}[/tex] = [tex]BC^{2}[/tex]
[tex]6^{2}[/tex] + [tex]8^{2}[/tex] = [tex]BC^{2}[/tex]
36 + 64 = [tex]BC^{2}[/tex]
[tex]BC^{2}[/tex] = 100
BC = [tex]\sqrt{100}[/tex]
BC = 10
3°/ Un parallélogramme est une figure dont les côtés sont parallèles deux à deux. Ici, la figure ABA'C forme un quadrilatère dont les diagonales sont les droites AA' et BC qui se coupent en leur milieu (en effet, I est le milieu de BC donc BI = IC et A' symétrique de A par rapport à I donc IA = IA'). Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABA'C est bien un parallélogramme.
4°/ Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur, alors ces triangles sont égaux. ABC et A'BC ont bien leurs côtés deux à deux de même longueur, ils sont donc égaux. Or, si deux triangles sont égaux, alors, ils ont leurs angles deux à deux de même mesure. L'angle BAC mesure 90° donc l'angle BA'C mesure également 90°.
5°/ Ce quadrilatère possède quatre angles droits. C'est donc un rectangle. Or les diagonales d'un rectangle possèdent la même longueur et se coupent en leur milieu. Ainsi, IA = IB = IC.
6°/ Etant donné que les points B, A' et C sont à la même distance du point I, le cercle circoncit au triangle ABC passera également par ces points.
7°/ " Si ABC est un triangle rectangle en A et soit I le milieu de [BC], alors A, B et C appartiennent au cercle de centre I et de rayon IA.
Le texte en gras correspond à l'hypothèse et en italique à la conclusion.
Deuxième partie :
1°/ Construis la figure
2°/ Les segments BI et AI semblent être de même longueur. Les segments BC et AC aussi ainsi que les segments AI et CI. Les triangles BAI, BAC et et CIA semblent donc être isocèles.
Si l'on mesure les côtés du triangle ABC, on remarque que :
[tex]AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}[/tex]
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.
3°/ Mesure l'angle ABI.
Les points A et B sont à la même distance de I puisqu'ils se situent sur le même cercle. Le triangle ABI est donc un triangle isocèle. Or, dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. L'angle BAI est donc de la même mesure que l'angle ABI.
Etant donné que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°,
AIB mesure 180° - (ABI + BAI) Remplace ABI et BAI par les longueurs que tu as trouvées.
4°/ Les angles AIC et AIB sont supplémentaires (quand leur somme fait 180°)
L'angle AIC mesure donc : 180° - AIB
Le triangle AIC est isocèle, donc ces deux angles à la base sont égaux. L'angle IAC mesure donc la même longueur que l'angle ICA.
Etant donné que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°,
l'angle ICA mesure donc 180° - ( IAC + AIC) Remplace par les bonnes mesures.
5°/ BAC = BAI + IAC (Normalement tu devrais trouver 90°)
6°/ On note x l'angle ABI.
BAI = 180° - (x + BIA)
BIA = 180° - (x + BAI)
AIC = 180° - BIA donc 180° - [180° - (x + BAI)]
IAC = 90° - BAI donc 90° - [180° - (x + BIA)]
ICA = IAC (car le triangle est isocèle) donc ICA = 90° - BAI donc 90° - [180° - (x + BIA)]
Donc BAC = BAI + IAC = 180° - (x + BIA) + 90° - [180° - (x + BIA)]
Je te laisse finir les calculs avec les valeurs numériques de ta figure !
Voilà ( :
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