Bonjour,
1) On a : x = AM.
Or, on sait que AM = QC.
D'où x = AM = QC.
Le point Q appartient au segment [BC] et BC = 6. Donc x ne peut pas être supérieur à 6 et une longueur ne peut pas être négative.
Ainsi, x ∈ [0 ; 6].
2)
Aire du rectangle ABCD :
- [tex]A_{ABCD}[/tex] = AB × BC
= 8 × 6
= 48
Soit la moitié de l'aire de ce rectangle : 48/2 = 24
Aire du carré AMNP :
- [tex]A_{AMNP}[/tex] = (AM)²
= x²
Aire du rectangle MBQR :
- [tex]A_{MBQR}[/tex] = MB × BQ
= (AB - AM)(BC - QC)
= (8 - x)(6 - x)
= 48 - 8x - 6x + x²
= x² - 14x + 48
On cherche à résoudre l'équation :
[tex]A_{AMNP }+A_{MBQR} = \frac{A_{ABCD}}{2}[/tex]
soit :
x² + x² - 14x + 48 = 24
⇔ 2x² - 14x + 24 = 0
⇔ (2x² - 14x + 24) / 2 = 0 / 2
⇔ x² - 7x + 12 = 0
3) A l'aide de la calculatrice, on conjecture que les deux solutions de cette équation sont 3 et 4.
Vérifions cette conjecture en résolvant l'équation :
g(x) = x² - 7x + 12 = 0
Or, Δ = (-7)² - 4 × 1 × 12
Δ = 49 - 48
Δ = 1
Comme Δ = 1 > 0, l'équation admet deux solutions distinctes :
[tex]x_{1}=\frac{7-\sqrt{1} }{2}=3[/tex] et [tex]x_{2}=\frac{7+\sqrt{1} }{2}=4[/tex]
La conjecture est vérifiée.
4) Conclusion :
Ainsi, lorsque AM = 3 ou lorsque AM = 4, la somme des aires des quadrilatères AMNP et MBQR est égale à la moitié de l'aire du quadrilatère ABCD.
En espérant t'avoir aidé(e).
Joyeuses fêtes de fin d'année.
