1) On trouve à la calculatrice que [tex]\varphi \approx 1.618[/tex].
2) On considère l'équation [tex]x^2 -x - 1 = 0[/tex]. On pose son discriminant :
[tex]\Delta = (-1)^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 5.[/tex] On a un discriminant positif donc deux solutions. L'une d'elle est [tex]x_1 = \frac{1 + \sqrt 5}{2}[/tex]. On remarque que [tex]\varphi = x_1[/tex]. Donc [tex]\varphi[/tex] est solution de l'équation [tex]x^2 -x - 1 = 0[/tex]. En faisait passer le [tex]-x[/tex] et le -1 de l'autre côté du égal on a que [tex]\varphi[/tex] est solution de [tex]x^2 = x + 1[/tex]. Ainsi on a bien [tex]\varphi ^2 = \varphi + 1[/tex].
3) On part de [tex]\varphi ^2 = \varphi + 1[/tex]. [tex]\varphi[/tex] est non nul, donc on peut diviser des deux cotés par [tex]\varphi[/tex]. Et on arrive bien au résultat.
N'hésite pas si tu as des questions.
