Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
Soit A(-9; 7), B(3; 5), C(8; -2) et D(-4; 0) quatre points.
1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD.
→ vecteur AB ( xB - xA ; yB - yA) = (3 + 9 ; 5 - 7) = (12 ; -2)
→ vecteur AB(12 ; - 2)
→ vecteur CD( xD - xD ; yD - yC) = (-4 - 8 ; 0 + 2) = (-12 : 2)
→ vecteur CD( -12 ; 2)
b) En déduire la nature du ABCD.
→ AB = - CD → donc ABCD est un parallélogramme
2.a) Calculer les coordonnées de M et N.
→ M milieu de AB → M( (xA + xB)/2 ; (yA + yB) /2) = ((-9 + 3)/2 ; (7 + 5)/2)
→ M ( -3 ; 6)
→ si N est tel que DN = 1/2DC alors N milieu de DC
→ N( (xD + xC)/2 ; (yD + yC)/2) = ((- 4 + 8)/2 ; (0 - 2)/2)
→ N( 2 ; - 1)
b) Calculer le déterminant des vecteurs MD et BN.
→ vecteur MD (xD - xM ; yD - yM) = (- 4 + 3 ; 0 - 6 ) = (- 1 ; -6)
→ vecteur MD( - 1 ; - 6)
→ vecteur BN ( xN - xB ; yN - yB) = ( 2 - 3 ; - 1 - 5 ) = (- 1 ; -6 )
→ vecteur BN( - 1 ; - 6)
⇒ vecteur MD = vecteur BN donc le déterminant = 0
⇒( -1 x - 6) - ( -1 x - 6 ) = 6 - 6 = 0
c) Calculer la norme de BM, BN et MN.
BM = √(xM - xB)² + yM - yB)²
BM = √( - 3 - 3 )² + (6 - 5)²
BM = √(-6)² + (-1)²
BM = √37
BN = √(xN - xB )² + (yN - yB)²
BN = √(2 - 3)² + (-1 -5)²
BN = √(-1)² + (-6)²
BN = √37
MN = √(xN - xM )² + (yN - yM)²
MN = √( 2 + 3)² + (-1 - 6)²
MN = √5² + (-7)²
MN =√ 25 + 49
MN = √74
d) Montrer que MBN est un triangle rectangle
- si MBN triangle rectangle , alors MN hypoténuse de ce triangle car coté le plus long et MBN rectangle en B
Pythagore dit alors → MN² = BN²+ BM²
- on calcule les 2 rapports séparément
→ MN² = √74²
→ MN² = 74
et
→ BN² + BM² = √37² + √37² = 37 + 37 = 74
donc comme MN² = BN² + BM² le triangle est rectangle en B
e) En déduire la nature du quadrilatère MBND.
- d'après la question (2b) on sait que vecteur MD = vecteur BN donc
MBND est un parallélogramme
- d'après la question (2d) , MBN triangle rectangle en B donc MBND a un angle droit B
donc c'est aussi un rectangle
- d'après la question (2c) on sait également que BN = BM = √37
donc le rectangle MBND ayant 2 cotés concécutifs de meme longueur est un carré
MBND est donc un carré
voilà
bonne soirée et belles vacances
PS : tu mettras des flèches sur les vecteurs
la norme d'un veecteurs se notent ║BN║ avec une flèche sur le vetcteur
ou BN sans flèche
