Réponse :
1) AH = sin ACB x AC et HC = cos ACB x AC
2) BH = BC - cos ACB x AC
3) voir explication
4) AB² = 6² + 8² - 2 x 6 x 8 x cos 60° = 36 + 64 - 96 x 0,5 = 36 + 64 - 48
AB² = 52 donc AB = [tex]\sqrt{52}[/tex]
Explications étape par étape :
1) ACH rectangle en H : sin ACB = [tex]\frac{AH}{AC}[/tex] et cos ACB = [tex]\frac{HC}{AC}[/tex]
2) BH = BC - CH car B, H et C sont alignés dans cet ordre
BH = BC - cos ACB x AC
3) ABH est rectangle en H par le théorème de Pythagore :
AB² = AH² + BH² = sin ACB² x AC² + (BC - cos ACB x AC)²
On rappelle que : sin ACB² = 1 - cos ACB²
AB² = (1 - cos ABC²) x AC² + (BC² + cosACB² x AC² - 2 BC x AC x cos ACB
On distribue :
AB² = AC² + BC² - cos ABC² x AC² + cos ACB² x AC² - 2 BC x AC x cos ACB
On annule ce qui est en gras ci-dessus :
AB² = AC² + BC² - 2 BC x AC x cos ACB
Et voilà le théorème d'Al Kashi
