Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
f est de la forme u*v avec :
u=10x+4 donc u'=10
v=5x²+1 donc v'=10x
f '(x)=[10(5x²+1)-10x(10x+4)] / (5x²+1)²
f '(x)=(-50x²-40x+10) / (5x²+1)²
f '(x)=10(-5x²-4x+1) / (5x²+1)²
2)
f '(x) est du signe de (-5x²-4x+1) qui est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.
Δ=b²-4ac=(-4)²-4(-5)(1)=36
√36=6
x1=(4+6)/-10=-1
x2=(4-6)/-10=0.2
Variation :
x--------->-∞................x1....................x2...................+∞
f '(x)------>.........-..........0.........+...........0.....-..............
f(x)-------->........D.........?..........C..........?.......D.........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
f(x1) = -1 et f(x2)=5
3)
Equa tgte en x=0 :
y = f '(0) (x-0)+f(0)
f '(0)=10 et f(0)=4
y=10x+4
4)
On étudie le signe de E(x)= f(x)-(10x+4) :
E(x)=(10x+4) / (5x²+1) - (10x+4)
On réduit au même dénominateur :
E(x)=[(10x+4) -(10x+4)(5x²+1)] / (5x²+1)
On met (10x+4) en facteur .
E(x)=[(10x+4)(1-(5x²+1))] / (5x²+1)
E(x)=[(10x+4)(-5x²)/(5x²+1)
E(x)=[5x²(-10x-4)] / (5x²+1)
Les facteurs 5x² et (5x²+1) sont positifs donc E(x) est du signe de (-10x-4).
-10x-4 > 0 pour x < -2/5
Donc :
Sur ]-∞;-2/5[ , E(x) > 0 et Cf au-dessus de la tgte en A.
Sur ]-2/5;+∞[ , E(x) < 0 et Cf sous la tgte en A.
Pour x=2.5 Cf et la tgte sont sécantes.
Pour x=0 : point de tangence.
Voir graph pour contrôle.
