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Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour un dm de maths niveau terminal On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par l’expression f(x) = x²e−x+1
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Calculer la dérivée f'
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 4.
5. Calculer la dérivée seconde f”.
6. En déduire la convexité de la fonction f.
7. Déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe de f.
8. Démontrer que l’équation f(x) = 1 admet exactement 2 solutions dans ]0; +∞[.
9. Donner une valeur approchée au centième de chacune des 2 solutions
merci d'avance !!
au revoir

Sagot :

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

f(x)=x² e^(-x+1) sur [0;-oo[ je ne vois pas pourquoi tu as exclu le 0 sachant que l'on peut l'étudier sur R

1) si x tend vers +oo,  x² tend vers +oo et e^(-x+1) tend vers0+ donc f(x) tend vers 0+ (ceci en raison des  croissances comparées)

si x=0   f(x)=0

2)Dérivée f'(x)=2x*e^(-x+1)-x² e^(-x+1)  =(2x-x²)e^(-x+1) ceci en vertu de la dérivée d'un produit u*v et de la dérivée de e^u(x) qui u'*e^u(x)

on peut écrire f'(x)=x(2-x)e^(-x+1)

on note que f'(x)=0 pour x=0 et x=2

3) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x     0                    2                             +oo

f'(x) 0          +        0            -                

f(x)   0       C         f(2)         D                  0+

f(2)=4/e  donc >1  ceci pour la question 8

4) Equation de la tangente (T) au point d'abscisse x=4: il suffit d'appliquer la formule

(T) y=f'(4)(x-4)+f(4)=(-8/e³)(x-4)+16/e³=(-8/e³)x+48/e³

5) dérivée seconde: on applique la même formule que pour f'(x)

f"(x)=(-2x+2)e^(-x+1)-(-x²+2x)e^(-x+1)=  (x²-2x-2x+2)*e^(-x+1)=(x²-4x+2)e^(-x+1)

6 et 7 ) f"(x)=0 pour les solutions de x²-4x+2=0

via delta on trouve x1=2-V2 et x²=2+V2 ce sont les abscisses des points d'inflexion

si tu veux les ordonnées il faut calculer f(2-V2)et f(2+V2) je ne pense pas qu'on les demande

La courbe est convexe sur [0; 2-V2[ concave sur ]2-V2; 2+V2[ puis convexe sur ]2+V2; +oo[

8) on note que f(0)= 0 ;que f(2)>1 et que f(+oo)=0+ la fonction étant continue et monotone sur les intervalles [0; 2]  et [2; +oo[, d'après le TVI  f(x)=1  a une solution sur l'intervalle [0;2]  et une solution sur l'intervalle [2; +oo[

9) sur [0; 2]  cette solution est évidente c'est x=1 (1²*e^0=1*1=1)

 sur [2, +oo[  elle est voisine de 3,5

f(3,5)=3,5²/e^2,5=1,0055*

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