Réponse :
1) a) La limite est 3.
b) voir pièce jointe 1
2) a) f est croissante stricte sur l'intervalle ]0 ; +∞ [
b) non, le bénéfice est inférieur à 3.
3) a) B(x) = [tex]f(x) * x = \frac{3x^{2} + x}{x + 100}[/tex]
b) [tex]\lim_{x \to \infty} B(x) = +\infty[/tex]
c) oui, vu la limite de la fonction est + infini.
Explications étape par étape :
1)a)
[tex]f(x) = \frac{3 (x + 100) - 299}{x + 100} = 3 - \frac{299}{x + 100} \\\\donc : \lim_{x \to \infty} f(x) = 3[/tex]car [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 100} = 0[/tex]
b) La droite y=3 est une borne asymptotique de la fonction, à savoir que la courbe se rapprochera par le dessous de cette droite sans l'atteindre.
(voir pièce jointe, la courbe est verte et l'asymptote orange. Attention, il ne faut considérer la représentation graphique que sur l'intervalle demandé)
2) a) Soit g la fonction : g : x --> 3 sur ]0 ; +∞[
Soit h la fonction : h : x --> [tex]-\frac{299}{x + 100}[/tex] sur le même intervalle
On sait que : f' = g' + h' par linéarité et que : g'(x)= 0 et h'(x) = [tex]\frac{299}{(x + 100)^{2} }[/tex]
f'(x) > 0 sur l'intervalle donc : f est croissante stricte sur ]0 ; +∞ [
b) sur l'intervalle ]0 ; +∞ [ , f est stricte croissante et majorée par une asymptote horizontale y = 3 donc : f(x) < 3 sur ]0 ; +∞ [
Il est impossible de faire un bénéfice de 5 euros.
3) Bénéfice total = nombre ballon vendu x bénéfice pour un ballon
a)
B(x) = [tex]f(x) * x = \frac{3x^{2} + x}{x + 100}[/tex]
b) On cherche sa limite en +∞ :
[tex]B(x) = \frac{x(3x + 1)}{x (1 + \frac{100}{x} )} = \frac{3x + 1}{1 + \frac{100}{x} }[/tex]
On sait que : [tex]\lim_{x \to \infty} 3x + 1 = +\infty et \lim_{x \to \infty} 1 + \frac{100}{x} = 1[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} B(x) = +\infty[/tex]
c) Vu que la limite de la fonction bénéfice est +infini, il est possible de dépasser les cinq millions d'euros.
