bonjour
1)
calcul préliminaire :
mesure de la hauteur d'un triangle équilatéral (voir image)
ABC est équilatéral ; soit a la mesure des côtés
H est le milieu de [AB] : AH = a/2
dans le triangle rectangle AHC
AC² = AH² + HC²
a² = (a/2)² + HC²
a² = a²/4 + HC²
HC² = a² - a²/4
HC² = 3a²/4
HC = a√3/2
dans le cas de l'exercice le triangle équilatéral OAM a pour côté 2,
sa hauteur mesure 2√3/2 = √3
dans le repère indiqué sur la figure
• coordonnées du vecteur PA
coordonnées du point P (0 ; 2)
coordonnée du point A (1 ; √3) (√3 c'est la hauteur)
le vecteur PA a pour coordonnées 1 - 0
√3 - 2
PA (1 ; √3 - 2)
• coordonnées du vecteur PB
abscisse de B : 2 + hauteur triangle équilatéral = 2 + √3
ordonnée de B : 1
B(2 + √3 ; 1)
le vecteur PB a pour coordonnées 2 + √3 - 0
1 - 2
PB (2 + √3 ; -1)
• on a : PA (1 ; √3 - 2)
PB (2 + √3 ; -1)
propriété : 2 vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si
xy' - yx' = 0
1 √3 - 2
2 + √3 -1
1*(-1) - (2 +√3)(√3 - 2) = -1 - (√3 + 2)(√3 - 2)
= -1 - [ (√3)² - 2²]
= -1 - (3 - 4)
= -1 - (-1)
= 0
D'après la propriété les vecteurs PA et PB son colinéaires
les droites PA et PB sont donc parallèles.
Elles ont en commun le point P, elles sont confondues.
P, A et B sont alignés.
