Bonjour,
1) forme u x v
avec u(x) = x² - 4x + 5 et v(x) = eˣ
Soit : u'(x) = 2x - 4 et v'(x) = eˣ
⇒ f'(x) = (u'v + uv')(x) = (2x - 4).eˣ + (x² - 4x + 5).eˣ
= (x² - 2x + 1).eˣ
2) forme u/v
avec u(x) = 1 - 2x et v(x) = eˣ
Soit : u'(x) = -2 et v'(x) = eˣ
⇒ f'(x) = [(u'v - uv')/v²](x)
= [-2eˣ - (1 - 2x)eˣ]/(eˣ)²
= (2x - 3)/eˣ
3) idem avec :
u(x) = 2 - 2eˣ et v(x) = eˣ + 1
soit : u'(x) = -2eˣ et v'(x) = eˣ
⇒ f'(x) = [-2eˣ(eˣ + 1) - (2 - 2eˣ).eˣ]/(eˣ + 1)²
= (-2eˣ - 2)/(eˣ + 1)²
= -2/(eˣ + 1)
Réponse :
dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f
1) f est définie sur R par f(x) = (x² - 4 x + 5)eˣ
la fonction produit est dérivable sur R et sa dérivée est :
f '(x) = (u*v)' = u'v - v'u
u(x) = x² - 4 x + 5 ⇒ u'(x) = 2 x - 4
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = (2 x - 4)eˣ + (x² - 4 x + 5)eˣ
= (2 x - 4 + x² - 4 x + 5)eˣ
donc f '(x) = (x² - 2 x + 1)eˣ
2) f est est définie sur R par f(x) = (1 - 2 x)/eˣ
la fonction quotient est dérivable sur R et sa dérivée est
f '(x) = (u'v - v'u)/v²
u(x) = 1 - 2 x ⇒ u'(x) = - 2
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = (- 2eˣ - (1 - 2x)eˣ)/e²ˣ
= (- 2 - 1 + 2 x)eˣ/e²ˣ
f '(x) = (2 x - 3)/eˣ
3) f est définie sur R par f(x) = (2 - 2eˣ)/(eˣ + 1)
u(x) = 2 - 2 eˣ ⇒ u'(x) = - 2eˣ
v(x) = eˣ + 1 ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = [-2eˣ(eˣ + 1) - (2 - 2eˣ)eˣ]/(eˣ + 1)²
= (- 2e²ˣ - 2eˣ - 2eˣ + 2e²ˣ)/(eˣ + 1)²
f '(x) = - 4eˣ/(eˣ + 1)²
Explications :