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Sagot :
Réponse : Prélude : On doit éliminer le cas x = 0 :
si x = 0 : tan x = 0 et sin x = 0 donc m = 0 et n = 0
m² - n² = 0 = 4 x 0
La formule marche pour x = 0
Dans la suite, on peut donc supposer tan x comme non nul.
Premier point : on utilise l'identité remarquable :
(a + b)² = a² + b² + 2 ab et (a - b)² = a² + b² - 2ab
m² - n² = (tanx + sinx)² - (tanx - sinx)² = [tan²x + sin²x + 2 tanxsinx] - [tan²x + sin²x - 2 tanxsinx] = 4 tanx sinx
Il reste donc à prouver que : [tex]\sqrt{mn} = tanx*sinx[/tex]
Ici, il faut utiliser l'identité remarquable : (a + b)(a - b) = a² - b²
[tex]\sqrt{mn} = \sqrt{(tanx + sinx) (tanx - sinx)} = \sqrt{tan^{2} x - sin^{2} x }[/tex]
tan²x = [tex]tan^{2}x = \frac{sin^{2}x }{cos^{2}x } donc tan^{2} x - sin^{2}x = \frac{sinx^{2} }{cosx^{2} } - sinx^{2}[/tex]
or 0 [tex]\leq[/tex] cos²x [tex]\leq[/tex] 1 donc : [tex]\frac{sinx^{2} }{cosx^{2} }\geq sinx^{2}[/tex] donc le radical de la racine est positive.
On factorise par tan²x qu'on a choisit non nul :
[tex]\sqrt{mn} = \sqrt{tan^{2} x (1 - \frac{sin^{2} x}{tan^{2} x} ) } = \sqrt{tan^{2}x (1 - sin^{2}x * \frac{cos^{2}x }{sin^{2}x } ) } = \sqrt{tan^{2}x (1 - cos^{2}x ) } = \sqrt{tan^{2} x sin^{2} x} = tanx * sinx[/tex]
Explications étape par étape :
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