Bonjour , Le barycentre des points (A,a), (B,b) vérifie [tex]a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}[/tex]
avec [tex]a + b \ne 0[/tex]
1) Si [tex]\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{BG}=2 \overrightarrow{AB}[/tex] alors [tex]\overrightarrow{BG}+ \overrightarrow{GA}=2 \overrightarrow{AB}[/tex] on applique alors la relation de Chasles on obtient [tex]\overrightarrow{BA}=2 \overrightarrow{AB}[/tex] qui s'écrit [tex]-\overrightarrow{AB}= 2\overrightarrow{AB}[/tex] ou encore -[tex]3\overrightarrow{AB}=0[/tex] en divise par -3 on obtient [tex]\overrightarrow{AB}=0 ~~~donc ~~ A=B[/tex]
La relation [tex]a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}~~ devient ~~a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GA}=\vec{0} \iff (a+b)\overrightarrow{GA}=\vect{0}[/tex]
Et puisque [tex]a + b \ne 0[/tex] on divise par a+b on obtient [tex]\overrightarrow{GA}=\vect{0} \iff G=A[/tex]
donc on a A=B=G, donc la relation [tex]a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}[/tex] est vraie quel que soit a et b il suffit que [tex]a+b \neq 0[/tex]
2) Si [tex]G \in [AB] ~~alors~on ~a ~~\overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{GB}[/tex] qui s'écrit [tex]\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}[/tex]
c-à-d [tex]a=1 ~~et ~~b=3[/tex]
