valentine40
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Bonjour, je suis un peu perdue, quelqu'un pourrait m'aider svp??

[tex]u(n + 1) = - 2 - 2u(n)[/tex] U(0) =2
[tex]v(n) = \frac{2}{3} + u(n)[/tex]

1-Exprimer v(n+1) en fonction de v(n)

2- Exprimer v(n) uniquement en fonction de n

3- Exprimer u(n) uniquement en fonction de n ​

Sagot :

Nepenthes

Réponse :

Salut !

Attention les notations, là c'est pas lisible du tout ! C'est [tex]u_n[/tex].

1. Là tu as pas vraiment le choix, il faut expliciter le truc.

[tex]v_{n+1} = \frac 23 + u_{n+1} = \frac 23 -2 - 2u_n = -\frac 43 - 2 u_n = -2\left(\frac 23 + u_n\right) = -2v_n[/tex]

2. Tu en déduis que ta suite (vn) est géométrique de raison -2 et de premier terme v0 = 2/3 + u0 = 8/3. Donc elle s'exprime :

[tex]v_n = \frac 83 \cdot(-2)^n[/tex]

3. A toi de jouer maintenant ! Tu as juste à exprimer un en fonction de vn.

Explications étape par étape :

Réponse :

1) exprimer Vn+1 en fonction de Vn

Vn = 2/3 + Un

Un+1 = - 2 - 2Un     et  U0 = 2

Vn+1 = 2/3 + Un+1

        = 2/3 + (- 2 - 2Un)

        = - 4/3 - 2Un

        = - 2(2/3 + Un)

        = - 2Vn

Vn+1 = - 2Vn     donc  (Vn) est une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme V0 = 2/3 + 2 = 8/3

2) exprimer Vn uniquement de n

      Vn = V0 x qⁿ   donc  Vn = (8/3) x (- 2)ⁿ

3) exprimer Un uniquement en fonction de n

        Vn = 2/3  + Un   ⇔  Un = Vn - 2/3  ⇔ Un =(8/3) x (- 2)ⁿ - 2/3

⇔  Un = 2/3(4 x (- 2)ⁿ - 1)

           = 2/3(2² x (- 2)ⁿ - 1)

           = 2/3((- 2)² x (- 2)ⁿ - 1)

donc  Un = 2/3) x (- 2)ⁿ⁺² - 2/3

Explications étape par étape :

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