seba0908
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Bonjour. J'ai besoin de votre aide en maths svp. Je vous remercie par avance :)

Une suite (un)n∈N est générée par la relation de récurrence un+1 = cun + 6 où c est une constante.

a- Etant donnés u1 = 28 et u2 = 13, déterminer la valeur de c.

b- Pour tout entier naturel n, on pose vn = un - 8. Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique.

c- En déduire l'expression de un en fonction de n.

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

a)

[tex]u_{n+1}=C*u_n+6\\u_2=C*u_1+6 \Longrightarrow\ 13=C*28+6 \Longrightarrow\ C=\dfrac{1}{4} \\\\[/tex]

b)

[tex]u_1=28\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{4}+6 \\\\v_n=u_n-8\\\\v_{n+1}=u_{n+1}-8=\dfrac{u_n}{4} +6-8=\dfrac{1}{4} (u_n-8)=\dfrac{v_n}{4} \\[/tex]

La suite est donc géométrique (V(n)) de  raison 1/4 et v(1)=28-8=20

c)

[tex]\\v_n=v_1*(\dfrac{1}{4} )^{n-1}=20*4*(\frac{1}{4})^n=\dfrac{80}{4^n} \\\\u_n=v_n+8=\dfrac{80}{4^n} +8\\[/tex]

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Un+1 = c Un + 6 devient 13 = 28c + 6

                                             7 = 28c

                                       7/28 = c

                                          1/4 = c

                                       0,25 = c .

■ étude de la suite (Un) :

  U1 = 28 ; U2 = 13 ; U3 = 9,25 ; ...

  La suite (Un) est donc décroissante !

  recherche de sa limite :

  L = 0,25L + 6 donne 0,75L = 6

                                            L = 6/0,75

                          d' où Limite = 8 .

■ étude de la suite (Vn) :

   V1 = 20 ; V2 = 5 ; V3 = 1,25 ; ...

   la suite (Vn) semble donc être une suite

                géométrique de raison q = 0,25

   démonstration :

   Vn+1 = Un+1 - 8

            = 0,25Un + 6 - 8

            = 0,25Un - 2

            = 0,25(Un - 8)

            = 0,25 Vn .

■ expression de Un :  

   Un = Vn + 8 = V1*0,25^(n-1) + 8

                      = 20*0,25^(n-1) + 8

                      = 80*0,25^n + 8

                      = 8 [ (10*0,25^n) + 1 ] .

■ vérif :

   U1 = 8 * 3,5 = 28

   U2 = 8 * ( 0,625 + 1 ) = 13

   U3 = 8 * ( 0,15625 + 1 ) = 9,25

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