bjr
exercice 1
1) on détermine la (ou les) abscisse(s) des points communs à ces deux courbes en résolvant l'équation
f(x) = g(x)
x² + 6x - 1 = -x² + 10x - 3
x² + 6x - 1 + x² - 10x + 3 = 0
2x² - 4x + 2 = 0
2(x² - 2x + 1) = 0
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x = 1
ces deux courbes ont en commun une seul point, le point d'abscisse 1
l'ordonnée est f(1) = 1² + 6*1 -1 = 1 + 6 - 1 = 6
A(1 ; 6)
2)
a)
f'(x) = 2x + 6 ; g'(x) = -2x + 10
b)
la tangente à la courbe qui représente f (la bleue) en A a pour coefficient
directeur f'(1) = 2*1 + 6 = 8
la tangente à la courbe qui représente g (la rouge) en A a pour coefficient
directeur g'(1) = -2*1 + 10 = 8
ces deux droites passent par A et ont le même coefficient directeur, elle sont confondues
exercice 2
f(x) = (ax² + bx + c)(x² + 1)
1) calcul de f'(x)
dérivée d'un produit : (uv)' = uv' + u'v
u : ax² + bx + c ; u' : 2ax + b
v : x² + 1 ; v' : 2x
f'(x) = (ax² + bx + c)(2x) + (x² + 1)(2ax + b)
= 2ax³ + 2bx² + 2cx + 2ax³ + bx² + 2ax + b
= 2ax³ + 2ax³ + 2bx² + bx² + 2cx + 2ax + b
= 4ax³ + 3bx² + (2a + 2c)x + b
1ère condition
f(0) = 1
f(0) = c
c = 1
2e condition
tangente horizontale en x = -1
f'(-1) = 0
f'(-1) = 4a(-1)³ + 3b*(-1)² + (2a + 2c)*(-1) + b
f'(-1) = -4a + 3b - 2a - 2c + b
f'(1) = -6a + 4b - 2c
-6a + 4b - 2c = 0 (1)
3e condition
f'(0) = 2
f'(0) = b
b = 2
on connaît b et c on trouve a en remplaçant dans (1)
