Réponse :
1) vec(AC) = (4; 7) et vec(AB) = (10 ; 5)
dét(vec(AC) ; vec(AB)) = xy' - x'y = 10*5 - 10*7 ≠ 0
donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires ⇒ A; B et C ne sont pas alignés ⇒ le point C ∉ (AB)
2) montrer que le point M a pour coordonnées :
(- 4 + 10t ; - 3 + 5t)
soit M(x ; y) tel que vec(AM) = tvec(AB)
vec(AM) = (x + 4 ; y + 3)
vec(AB) = (10 ; 5) ⇒ tvec(AB) = (10 t ; 5 t)
x + 4 = 10 t ⇔ x = - 4 + 10 t
y + 3 = 5 t ⇔ y = - 3 + 5 t
donc M(- 4 + 10 t ; - 3 + 5 t)
3) montrer que f(t) = 125(t - 3/5)² + 20
f(t) = CM²
vec(CM) = (- 4 + 10 t ; - 3 + 5 t - 4) = (- 4 + 10 t ; - 7 + 5 t)
CM² = (- 4 + 10 t)² + (- 7 + 5 t)²
= 16 - 80 t + 100 t² + 49 - 70 t + 25 t²
= 125 t² - 150 t + 65
donc f(t) = 125 t² - 150 t + 65
= 125(t² - (6/5) t + 13/25)
= 125(t² - (6/5) t + 13/25 + 9/25 - 9/25)
= 125((t² - (6/5) t + 9/25) + 4/25)
= 125(t - 3/5)² + 20
4) en déduire le tableau de variation de f sur R
t - ∞ 3/5 + ∞
variations + ∞ →→→→→→→→→→→→ 20 →→→→→→→→→→→ + ∞
de f(t)
5) déterminer les coordonnées du point M de la droite (AB) pour laquelle la distance CM est minimale
M(- 4 + 10*3/5 ; - 3 + 5*3/5) = (2 ; 0)
quelle est cette distance minimale ? CM = 20
Explications étape par étape :
