Réponse :
Voilà la réponse à toutes tes questions
Explications étape par étape :
1.
a.
p² = (6q+1)²
p² = (6q)²+2x6qx1+1²
p² = 36q+12q+1
On factorise par 12q :
12q (3q+1) + 1 avec 3q + 1 appartenant à un nombre entier relatif
b.
Cas numéro 1 :
q est un nombre pair, il existe donc a appartenant à un nombre entier relatif tel que q = 2a
A = q(3q+1)
A = 2a ( 3x2a+1)
A = 2a (6a+1)
A = 12a² + 2a
A = 2 (6a²+a) avec k = 6a²+a
On a bien 2 x k
Par conséquent, avec q étant un nombre pair, q(3q+1) est pair.
Cas numéro 2 :
q est un nombre impair, il existe donc b appartenant à un nombre entier relatif tel que q = 2b+1
B = q(3q+1)
B = (2b+1) (3x(2b+1)+1)
B = (2b+1) (6b+4)
B = 12b²+8b+6b+4
B= 12b²+14b+4
B = 2 (6b²+7b+2) avec k' = 6b²+7b+2
On a bien 2 x k'
Par conséquent, avec q étant un nombre impair, q(3q+1) est pair.
c.
p² = 36q²+12q+1
24k+1 = 36q²+12q+1
24k = 36q²+12q
24k = 24 (3/2q² + 1/2 q + 1)
k = 3/2q² + 1/2q + 1
p² = 24k+1 avec k = 3/2q² + 1/2 q + 1
avec 6q+5 :
p² = 36q²+60q+25
24k'+1 = 36q²+60q+25
24k' = 36q²+60q+24
24k' = 24 (3/2q² + 5/2q + 1)
k' = 3/2q² + 5/2q + 1
p² = 24k'+1 avec k = 3/2q² + 5/2q + 1
2.
p² ÷ 24 = k'+1
