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Sagot :
Réponse :
fm(x) = (m+3) x² + 2(2 m + 1) x + (m + 3)
1) ce polynôme est du second degré pour m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ - 3
m ∈ ]- ∞ ; - 3[U]- 3 ; + ∞[
2) Δ = (2(2 m+1))² - 4(m+ 3)² = (4 m + 2 + 2(m+ 3))(4 m + 2 - 2(m+3))
= (6 m + 8)(2 m - 4)
Δ = 0 ⇔ (6 m + 8)(2 m - 4) = 0 ⇔ 6 m + 8 = 0 ⇔ m = - 8/6 = - 4/3
ou 2 m - 4 = 0 ⇔ m = 4/2 = 2
donc pour m = - 4/3 ou m = 2 , ce polynôme a une racine double
3) ce polynôme n'admet aucune racine réelle si Δ < 0
⇔ (6 m + 8)(2 m - 4) < 0
m - ∞ - 4/3 2 + ∞
6 m + 8 - 0 + +
2 m - 4 - - 0 +
P + 0 - 0 +
donc pour m ∈ ]- 4/3 ; 2[ le polynôme n'admet aucune racine
Etudier le signe de fm(x) dans ce cas
le signe de fm(x) dépend du signe de (m+3)
si m+3 > 0 ⇔ m > - 3 ⇔ m ∈ ]- 3 ; + ∞[ alors fm(x) > 0
si m + 3 < 0 ⇔ m < - 3 ⇔ m ∈ ]- ∞ ; - 3[ alors fm(x) < 0
pour quelle valeur de m cette fonction admet un changement de variation en - 3 ? dresser alors son tableau de variation
f 'm(x) = 2(m+3) x + 2(2m+1)
f 'm(-3) = 0 ⇔ 2(m+3) *(-3) + 2(2m+1) = 0 ⇔ - 6 m - 18 + 4 m + 2 = 0
⇔ - 2 m - 16 = 0 ⇔ m = - 8
Explications étape par étape :
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