Bonjour,
Soit x ∈ R, m∈R
1. a) Pour connaître les abscisses des points commun entre C et D, il faut trouver x tel que :
2x² - 5x - 3 = x + m
On a donc :
2x² - 6x - 3 - m = 0
On calcule le discriminant :
Δ = (-6)² -4(2*(-3-m)) = 36 - 4(-6-2m) = 36 + 24 + 8m = 60 + 8m
Comme on veut que C et D n'ait qu'un seul point d'intersection, il faut que l'équation 2x² - 6x - 3 - m = 0 n'admette qu'une solution.
Il faut donc que Δ = 0
Donc 60 + 8m = 0
Donc m = -60/8 = -15/2
b) A a donc pour abscisse : 6 / (2*2) = 6/4 = 3/2
A a pour ordonnée : 3/2 - 15/2 = -12/2 = -6
A a donc pour coordonnées (3/2 ; -6)
2) f est un polynôme, donc est dérivable sur R.
Soit x ∈ R
On a f'(x) = 4x - 5
L'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 3/2 est :
y = f'(3/2)(x-(3/2)) + f(3/2)
= ((12/2) - 5 )(x-(3/2)) + ((18/4) - (15/2) - 3)
= x - (3/2) + (-24/4)
= x - 30/4
= x - 15/2
On retrouve bien l'expression y = x + m avec m = -15/2
Donc D est tangente à C, en A.
