dm de maths 1eres s aides
f'(x) c'est (u'v-uv')/v² avec u=rac(x) donc u'=1/(2rac(x)) et v=x+1 donc v'=1
il vient f'(x)=((x+1)/2rac(x)-rac(x))/(x+1)² ce qui donne (x+1-2x)/(2rac(x)(x+1)²) CQFD
f' a le signe de 1-x donc f croit de f(0)=0 ç f(1)=1/2 puis decroit et tend vers 0 en +infini.
On a donc pour x>0 0<=f(x)<=1/2 soit 0<=rac(x)<=(x+1)/2 CQFD
comme x+1>=x f(x)<=rac(x)/x=1/rac(x) pour x>0
1/rac(x) est <=10-2 pour x>=10^4
f'(x) est égale à -5x+2)/(x-2)^3 donc son signe est celui de (-5x-2)/(x-2) :
x -inf -1 -2/5 0 2 +inf
f'(x) - - 0 + + || -
f 1(<1) decroit 0 dec -1/24 croit 0 croit +inf ||+inf decroit 1(>1)
la droite y=1 est au dessus de Cf pour x<0,8, et au dessus ensuite