Réponse :
f(x) = x³/3 + 1/2) x² - 2 x + 1
1) montrer que pour tout réel x, la dérivée de f est donnée par :
f '(x) = x² + x - 2
la fonction f est un polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est
f '(x) = 3 x²/3 + 2 x/2 - 2
f '(x) = x² + x - 2
2) montrer que l'équation de la tangente T à Cf du point d'abscisse - 1
est : T y = - 2 x + 7/6
y = f(-1) + f '(-1)(x + 1)
f(-1) = (-1)³/3 + 1/2*(- 1)² - 2*(-1) + 1 = - 1/3 + 1/2 + 3 = - 2/6 + 3/6 + 18/6 = 19/6
f '(- 1) = (- 1)² + (-1) - 2 = - 2
y = 19/6 - 2(x + 1)
= 19/6 - 2 x - 2
= 19/6 - 2 x - 12/6
l'équation de la tangente T est : y = - 2 x + 7/6
3) déterminer les coordonnées des points A et B de Cf qui admettent une tangente horizontale
on écrit f '(x) = 0 ⇔ x² + x - 2 = 0
Δ = 1 + 8 = 9
x1 = - 1+3)/2 = 1 ⇒ f(1) = 1/3 + 1/2 - 2 + 1 = 2/6 + 3/6 - 6/6 = - 1/6 ⇒ A(1 ; - 1/6)
x2 = -1-3)/2 = - 2 ⇒ f(2) = - 8/3 + 2 + 4 + 1 = - 8/3 +7 = ⇒ B(- 2 ; 13/3)
4) déterminer les coordonnées du point C de Cf qui admet une tangente parallèle à T
f '(x) = - 2 ⇔ x² + x - 2 = - 2 ⇔ x² + x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = - 1
C(- 1 ; 19/6)
Explications étape par étape :
