1.a. Pour qu'un nombre a soit racine d'un polynôme P(x), aloes P(a) doit être égal à 0:
P(-2) = (-2)³ + 6 × (-2)² + 6 × (-2) - 4
= -8 + 6 × 4 - 12 - 4
= -24 + 24
= 0
Donc -2 est bien racine du polynôme.
b. On peut retrouver ces 3 inconnues par identification. D'un côté, on a P(x) = x³+6x²+6x-4, et de l'autre P(x) = (x+2)(ax²+bx+c). On développe la deuxième forme :
P(x) = ax³+bx²+cx+2ax²+2bx+2c
= x³(a) + x²(b+2a) +x (c + 2b) + 2c
Ainsi, on identifie, on remarque :
a = 1
b + 2a = 6
c + 2b = 6
2c = -4
On trouve donc :
a = 1
b = 4
c = -2
On récapitule, P(x) = (x+2)(x²+4x-2)
c. On doit donc faire un tableau de signe avec (x+2)(x²+4x-2)
x+2 > 0 lorsque x > -2
x²+4x-2 > 0, on doit faire un discriminant pour trouver les racines :
∆ = 4² - 4 × 1 × (-2)
= 16 + 8
= 24
Ainsi les racines seront (-4±√24)/2, simplifiable à -2±√6.
On trouve donc que x²+4x-2 > 0 pour x appartient à ]-∞;-2-√6[u]-2+√6;+∞[
En combinant les deux, on a aussi P(x) > 0 pour x > -2+√6 !
2.a Un ratio doit toujours avoir son dénominateur différent de 0, on ne peut pas diviser par 0 donc. Ainsi, on doit trouver x pour x+2 ≠ 0, soit x≠-2. Il y aura donc un "trou" à ce moment-ci aux coordonnées A(-2;f(-2))
b. Je n'ais pas bien compris la question, mais si jamais la courbe y passe en y = 6 lorsque x = 4
Voilà c'est tout, il y a peut-être des erreurs de calcul ou d'innatention, veuillez m'excuser si c'est le cas!
