Bonjour,
1)
[tex]f(x)=\frac{-1}{3}x^{3}-2x^{2}+6x[/tex]
La première chose à faire c'est de connaître tes formules de dérivation et ce sera très rapide :
[tex](x^{n} )'=nx^{n-1}[/tex]
donc : [tex](\frac{-1}{3}x^{3})'=\frac{-1}{3}*3x^{2} = -x^{2}[/tex]
[tex](x^{2} )'=2x[/tex]
donc : [tex](-2x^{2})' =-2*2x=-4x[/tex]
[tex](mx+p)'=m[/tex]
donc : [tex](6x)'=6[/tex]
Ainsi, [tex]f'(x)=-x^{2} -4x+6[/tex]
b) Les solutions de f'(x)=0 :
[tex]-x^{2} -4x+6=0[/tex]
Rien de mieux que du second degré !
Δ = [tex]b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4*(-1)*6 = 16+24 = 40[/tex]
Donc,
[tex]x_{1} = \frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}=\frac{4-\sqrt{40} }{-2}=\frac{4-\sqrt{2*2*10} }{-2}=\frac{4-\sqrt{2}^{2}\sqrt{10} }{-2}=\frac{4-2\sqrt{10} }{-2}=\frac{2(2-\sqrt{10}) }{-2}=-2-\sqrt{10}[/tex]
[tex]x_{2}=-2+\sqrt{10}[/tex]
c) f'(x) est une fonction du second degré, donc elle est du signe de a à l'extérieur des racines et de -a à l'intérieur de celles-ci. Les deux racines sont x1 et x2. Je ne peux pas faire de tableau de variations, mais ça va donner ça :
f'(x) négative sur ]-∞ ; -2-[tex]\sqrt{10}[/tex] [ U ] -2+[tex]\sqrt{10}[/tex] ; +∞[
f'(x) positive sur ]-2-[tex]\sqrt{10}[/tex] ; -2+[tex]\sqrt{10}[/tex] [
Et elle s'annule en ses racines.
Ainsi, f(x) est décroissante sur ]-∞ ; -2-[tex]\sqrt{10}[/tex] [ U ] -2+[tex]\sqrt{10}[/tex] ; +∞[ et croissante sur ]-2-[tex]\sqrt{10}[/tex] ; -2+[tex]\sqrt{10}[/tex] [
