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Bonjour je suis en 1ère et je bloque sur ce dm.

On donne la fonction g définie sur R par : g(x) = x3 – 2x + 1
1. a. Soit h = 0. Calculer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h.
b. En déduire l'existence et la valeur du nombre dérivé de f en 1.
c. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
2. Soit a un nombre réel et h = 0.
En calculant le taux de variation de g entre a et a + h, démontrer que g est dérivable en a, et exprimer
g'(a) en fonction de a.
3. Déterminer les abscisses du point (ou des points) en lesquels la courbe de la fonction f admet une
tangente horizontale.


Exercice 4
On a la fonction f définie sur R par: f(x) = 2x2 + x - 1.
.
1.Étudier les variations de la fonction f sur R.
2Factoriser le polynôme f(x).
3 On veut résoudre dans [0; 21] l'équation d'inconnue t : 2 cos? t + cost - 1 = 0 (E)
4 On pose : x = cost. Réécrire en fonction de x l'équation que l'on veut résoudre.
5Donner les solutions de cette équation d'inconnue x.
6 Pour chaque solution x trouvée au b., résoudre dans [0; 21] l'équation d'inconnue t:cost = x
7 Conclure sur l'ensemble des solutions de l'équation (E) dans [0; 211].

J’ai déjà fait les questions 1)a, 1)b et la 2 de l’exercice 4, pourriez vous m’aidez à résoudre les autres questions svp.

Sagot :

Réponse :

g(x) = x³ - 2 x + 1   définie sur R

1) a) soit  h ≠ 0  Calculer le taux de variation de g entre 1 et 1+h

       t(h) = [g(1+h) - g(1)]/h

             = ((1+h)³ - 2(1+h) + 1) - (1 - 2 + 1))/h

             = (h³+ 3 h² + 3 h + 1 - 2 - 2 h + 1)/h

             = (h³ + 3 h² + h)/h

             = h(h² + 3 h + 1)/h

donc  t(h) = h² + 3 h + 1

b) en déduire l'existence et la valeur du nombre dérivé de f en 1

    f '(1) = lim t(h) = lim (h² + 3 h + 1) = 1

              h→0        h→0

c) quelle est l'interprétation graphique de ce résultat

  ce résultat représente la pente de la tangente de Cf en ce point

2) démontrer que g est dérivable en a et exprimer g '(a) en fonction de a

   il faut montrer que  lim t(h)  quand h tend vers 0 existe

            lim (g(a+h) - g(a))/h = g '(a)

            h→0

             t(h) = [g(a+h) - g(a)]/h

             = ((a+h)³ - 2(a+h) + 1) - (a³ - 2 a + 1))/h

             = (h³+ 3 a²h + 3 ah² + a³ - 2 a - 2 h + 1 - a³ + 2 a - 1)/h

             = (h³ + 3 a²h + 3 ah²- 2 h)/h

             = h(h² + 3 a² + 3 ah - 2)/h

donc  t(h) = h² + 3 a² + 3 ah - 2

  g '(a) = lim t(h) = 3 a² - 2

              h→0

3) déterminer les abscisses du point (ou des points) en lesquels la courbe de la fonction g admet une tangente horizontale

       g '(a) = 0   ⇔ 3 a² - 2 = 0  ⇔  a² = 2/3   ⇔ a = - √(2/3) = - √(6)/3

a = √(6)/3                      

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