Réponse :
1. Le triangle AHC est rectangle en H, donc selon le théorème de Pythagore AH² = AC² - CH². Donc :
AH² = AC² - CH²
AH² = 13² - 5²
AH² = 144
AH = √144
AH = 12 cm
Donc, la longueur AH mesure 12 cm.
2. Le triangle ABH est rectangle en H, donc selon le théorème de Pythagore, HB² = AB² - AH² . Donc :
HB² = AB² - AH²
HB² = 31,2² - 12²
HB² = 829,44
HB = √829,44
HB = 28,8 cm
Donc, la longueur HB mesure 28,8 cm.
3. Selon la réciproque du théorème de Pythagore, si CB² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle A. Donc :
CB² = (CH + HB)²
CB² = (5 + 28,8)²
CB² = 33,8²
CB² = 1 142,44
AB² + AC² = 31,2² + 13²
AB² + AC² = 973,44 + 169
AB² + AC² = 1 142,44
Or, 1 142,44 = 1 142,44 et donc, CB² = AB² + AC². Le triangle ABC est donc bien rectangle en A.
4. Comme M est la symétrie de B par rapport à A, on peut en déduire que AM = AB. De plus, comme N est la symétrie de C par rapport à A, on peut en déduire que NA = AC.
Or, on constate que les diagonales du quadrilatères MNCB se coupent en leur milieu en point A. Le quadrilatère MNCB est donc un parallélogramme.