Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
C'est plus simple et plus clair d'envoyer une photo de l'énoncé !!
Premier modèle :
Une valeur qui augmente de 4% est multipliée par (1+4/100)=1.04.
1)
U(0)=1000
U(1)=1000 x 1.04=1040
2)
On a donc U(n+1)=U(n) x 1.04 qui prouve que la suite (U(n)) est une suite géométrique de raison q=1.04 et de 1er terme U(0)=1000.
On sait donc que :
U(n)=U(0) x q^n soit ici :
U(n)=1000 x 1.04^n
3)
Comme 1.04 > 1 :
lim (U(n))=+∞
4)
Ce modèle n'est pas acceptable car la population de singes ne peut augmenter indéfiniment sans limite : la nourriture viendrait à manquer !!
Deuxième modèle :
On a donc :
V(0)=1 ( 1 millier , je suppose)
Et :
V(n+1)=0.9*V(n)+0.15
1)
En 2021 :
V(1)=0.9*1+0.15=1.05 millier soit 1050 singes. ( Et non 8 comme tu as écrit).
2)
a)
Oh la la !! Il n'y a pas de formule qui permette de trouver le terme V(n) en fonction de "n" pour une suite qui n'est ni arithmétique , ni géométrique !!
On a besoin d'une suite intermédiaire . On pose :
W(n)=V(n)-1.5
Je ne t'explique pas comment j'ai trouvé ça . Tu comprendras avec la suite peut-être.
W(n+1)=V(n+1)-1.5 mais V(n+1)=0.9*V(n)+0.15 donc :
W(n+1)=0.9*V(n)+0.15-1.5
W(n+1)=0.9*V(n)-1.35 ==>on met "0.9" en facteur :
W(n+1)=0.9(V(n)-1.5) car 0.9*1.5=1.35 : OK ?
Donc :
W(n+1)=0.9*W(n) qui prouve que la suite (W(n)) est géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme W(0)=V(0)-1.5=1-1.5=-0.5.
Donc :
W(n)=-0.5 x 0.9^n
Mais : V(n)=W(n)+1.5 donc :
V(n)=1.5-0.5*0.9^n
Cela m'étonnerait que l'on te demande tout ça sans te donner le départ.
b)
V(n+1)-V(n)=1.5-0.5*0.9^(n+1)-(-1.5-0.5*0.9^n)
V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n-0.5*0.9.9^n
On met : 0.5*0.9^n en facteur :
V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n(1-0.5*0.9)=0.5*0.9^n*0.55
V(n+1)-V(n)=0.275*0.9^n qui est > 0.
Donc :
V(n+1)-V(n) > 0 donc :
V(n+1) > V(n) qui prouve sue la suite (V(n)) est strictement croissante.
c)
On a donc :
V(n)=1.5-0.5*0.9^n
lim 0.9^n=0 car -1 < 0.9 < 1
n--->+∞
Donc :
lim V(n)=1.5-0.5 x 0=1.5 ( en millier)
d)
La population a pour limite 1500 singes.
3)
a)
n=0
v=1
While v < 1400
n=n+1
v=1.5-0.5*0.9^n
Print 2020+n
b)
Je rentre la fonction :
Y=1.5-0.5*0.9^X
dans ma calculatrice .
X=15 donne Y=1.3976
X=16 donne Y=1.4073
Donc ce sera en 2020+16=2036.
