Réponse :
bonjour,
Explications étape par étape :
f(x)=(3/2)x+1/(x+1)-1
f'(x)=3/2-1/(x+1)²=[3(x+1)²-2]/2(x+1)²=(3x²+6x+1)/2(x+1)²
le signe de f'(x) dépend du signe de 3x²+6x+1
f'(x)=0 delta=24 ;Vdelta=2V6
solutions x1=(-6-2V6)/6 valeur<0 et x2=(-6+2V6)/6 valeur<0
donc sur [0; 1], f'(x) est >0 et f(x) est croissante.
valeurs aux bornes f(0)=0 et f(1)=3/2+1/2-1=1
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 1
f'(x) +
f(x)0 croi 1
Les 3 premières conditions sont remplies
Signe de f(x)-x
3x/2+1/(x+1)-1 -x= (x²-x)/2(x+1) ceci après mise au même dénominateur développement et réduction du numérateur.
le signe de f(x)-x dépend du signe de x²-x sur [0 ;1]
f(x)-x= 0 pou x=0 et x=1 sinon f(x)-x<0
la 4ème condition est donc remplie
Conclus
)