Bonjour,
1. Ici on a : [tex]f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + x + 1}[/tex]
[tex]x^3 - 3x[/tex] et [tex]x^2 + x + 1[/tex] sont des polynômes, ils sont définis sur R.
f est une fonction quotient, définie lorsque son dénominateur n'est pas nul.
On étudie donc le signe de x² + x + 1.
Soit x ∈ R,
On a x² + x + 1 = (x+(1/2))² - (1/4) + 1 = (x+(1/2))² + (3/4) > 0
Donc x² + x + 1 ne s'annule pas sur R.
f est donc définie sur R.
2. Pour étudier la position relative de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y = x-1, cela revient à étudier le signe de f(x) - (x-1)
En effet, lorsque f(x) - (x-1) ≥ 0, cela veut dire que la courbe C est au dessus de la droite D.
Lorsque f(x) - (x-1) ≤ 0, cela veut dire qu'elle est en dessous.
On a :
[tex]f(x) - (x-1) = \frac{x^3 - 3x}{x^2+x+1} - (x-1) = \frac{x^3 - 3x}{x^2+x+1} - \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = \frac{x^3-3x -(x^3+x^2+x-x^2-x-1)}{x^2+x+1} = \frac{-3x +1}{x^2+x+1}[/tex]
Comme on sait que x²+x+1 > 0 sur R,
f(x) - (x-1) est du signe de -3x+1
Or -3x+1 ≥ 0 pour x ≤ 1/3 et -3x+1 ≤ 0 pour x ≥ 1/3
En conclusion :
C est au dessus de D pour x ≤ 1/3.
C est en dessous de D pour x ≥ 1/3
