Bonjour,
Pour connaître la longueur du chemin, il faut connaitre la longueur entre le point C et le lac (appelons le point L)
Pour cela, ce serait bien de connaître les coordonnées du point C.
Soit (xC, yC) les coordonnées du point C. On a :
Le vecteur AB a pour coordonnées (150; -250)
Le vecteur CL a pour coordonnées (225-xC; 360-yC)
Comme le vecteur AB est normal à CL, on a :
AB.CL = 150(225-xC) -250(360-yC) = 0 (produit scalaire)
Donc 33750 - 150xC -90000 + 250yC = 0
Donc 250yC -150 xC - 56250 = 0
On divise chaque terme par 50 pour simplifier l'équation :
5yC - 3xC - 1125 = 0
Donc 5yC - 3xC = 1125 (Eq. 1)
La droite (AB) une équation de la forme :
-250x -150y + c = 0
Comme elle passe par le point B(200,175), on a :
-250(200) - 150(175) + c = 0
-50000 - 26250 + c = 0
Donc c = 76250
Donc la droite (AB) a pour équation :
-250x - 150y + 76250 = 0
En simplifiant, on trouve :
5x + 3y - 1525 = 0
Comme le point C se trouve sur la droite (AB), on a :
5xC + 3yC = 1525 (Eq.2)
On résout le système de 2 équations à deux inconnues formé par Eq1. et Eq2.
On fait 3×Eq2. + 5×Eq1. (Méthode de combinaison linéaire)
On a : 3×(5xC +3yC) + 5×(5yC - 3xC ) = 3×1525 + 5×1125
Donc 15xC + 9yC + 25yC - 15xC = 10200
Donc 34yC = 10200
yC = 300
Comme on a : 5xC + 3yC = 1525 (Eq.2)
On a : 5xC + 900 = 1525
Donc 5xC = 625
xC = 125
Le point C a pour coordonnées (125;300)
Donc CL = [tex]\sqrt{(225-125)^2 + (360-300)^2} = \sqrt{10000+3600} = \sqrt{13600} = 116.6[/tex]
