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Bonjour, pouvez vous m'aidez pour la question b et c s'il vous plaît.
Merci d'avance.
2) On suppose désormais que n ≥ 2. Soit la fonction f définie sur (0; +infini par f (x)= (1+x)^n. On note C, sa courbe représentative.

a) Prouver que f"(x)=n(n-1)(1+x)^n-2
. b) Montrer que la fonction f est convexe sur [0;+00[.
c) Déterminer une équation de la tangente T à C, au point d'abscisse 0.
d) Démontrer alors l'inégalité de Bernoulli.​

Sagot :

Aeneas

Bonjour,

Soit n ≥ 2

a) f est dérivable sur [0;+∞[.

Soit x∈R

f'(x) = n(1+x)^(n-1)

f' est dérivable sur [0;+∞[

Et f''(x) = n(n-1)(1+x)^(n-2)

b) ∀n ≥ 2, on a n ≥ 0, (n-1) ≥ 0. Et pour x∈ [0;+∞[, 1+x ≥ 0 donc (1+x)^(n-2) ≥ 0.

Donc ∀n ≥ 2, ∀x ≥ 0, f''(x) ≥ 0

Donc f est convexe sur  [0;+∞[

c) L'équation de la tangente T à C au point d'abscisse a est de la forme :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Donc pour a=0, on a :

y = f'(0)x + f(0) = n(1^(n-1))x + 1^n = 1 + nx

d) f est convexe sur [0;+∞[, donc la courbe de f est située au dessus de ses tangentes pour x ≥ 0. Donc, en particulier, pour x ≥ 0 :

f(x) ≥ 1 + nx

(1+x)^n ≥ 1 +nx

L'inégalité de Bernoulli (1+x)^n ≥ 1 +nx  est donc démontrée.

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