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Exercice 1: On lance n fois de suite un dé bien équilibré. On appelle X la variable aléatoire qui est égale au nombre de 6 obtenu sur les n lancers.
2) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
3) Exprimer P(X= 0) en fonction de n. Interpréter le résultat.
4) On note Pn la probabilité d'obtenir au moins une fois un 6. Déduire de la question précédente Pn en fonction de n.
5) Montrer que la suite (pn) est croissante.

bonjour pouvez vous m'aidez pour la question 3 et 4 de cet exercice s'il vous plaît ?
merci d'avance ​

Sagot :

Aeneas

Bonjour :

3) Soit k un entier tel que : 0 <= k <= n,

On a :

P(X = k) = [tex]\frac{n!}{k!(n-k)!} (\frac{1}{6})^k(\frac{5}{6}^{(n-k) })[/tex]

Pour k = 0, ça nous fait :

P(X=0) = [tex]\frac{n!}{n!} \frac{5}{6}^n[/tex]= [tex]\frac{5}{6}^n[/tex]

La probabilité d'obtenir aucun 6 sur un lancé est de 5/6.

La probabilité d'obtenir aucun 6 sur n lancés est (5/6)^n

4) La probabilité d'obtenir au moins une fois un 6 est le contraire de n'obtenir aucun 6.

Donc Pn = 1 - P(X=0) = 1 - (5/6)^n

5) On a : Pn+1 - Pn = 1 - (5/6)^(n+1) - 1 + (5/6)^n = (5/6)^n - (5/6)^(n+1)

= (5/6)^n(1-(5/6)) = (1/6)(5/6)^n

Or (1/6) ≥ 0 et  (5/6)^n ≥ 0 donc (1/6)(5/6)^n ≥ 0 donc Pn+1 - Pn ≥ 0.

Donc (Pn) est croissante.

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