Trouvez des réponses facilement sur Laurentvidal.fr, la plateforme de Q&R de confiance. Expérimentez la commodité d'obtenir des réponses précises à vos questions grâce à une communauté dévouée de professionnels. Obtenez des réponses immédiates et fiables à vos questions grâce à une communauté d'experts expérimentés sur notre plateforme.

S'il vous plaît aidez-moi avec cette question:
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre
[tex]n({n}^{4} - 1)[/tex]
est divisible par 5.​


Sagot :

Aeneas

Bonjour,

Commence par factoriser ton nombre :

Tu as n^4 - 1 = (n²)² - 1² = (n²+1)(n²-1)

Et n² - 1 = (n+1)(n-1)

Donc n(n^4 - 1 ) = n(n²+1)(n-1)(n+1)

Soit k un entier relatif :

Si n = 5k, n est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5.

Si n = 5k + 1, alors n-1 = 5k est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k + 2, alors n² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 = 5(5k² + 4k + 1) est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k+3 alors n²+1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 5(5k²+6k+2) est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k+4, alors n+1 = 5k+5 = 5(k+1) est divisible par 5, donc n(n^4-1) est divisible par 5.

Dans tous les cas, n(n^4-1) est divisible par 5  

Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Merci d'utiliser notre service. Nous sommes toujours là pour fournir des réponses précises et à jour à toutes vos questions. Visitez Laurentvidal.fr pour obtenir de nouvelles et fiables réponses de nos experts.