abirfakhreddine
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S'il vous plaît aidez-moi avec cette question:
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre
[tex]n({n}^{4} - 1)[/tex]
est divisible par 5.​

Sagot :

Aeneas

Bonjour,

Commence par factoriser ton nombre :

Tu as n^4 - 1 = (n²)² - 1² = (n²+1)(n²-1)

Et n² - 1 = (n+1)(n-1)

Donc n(n^4 - 1 ) = n(n²+1)(n-1)(n+1)

Soit k un entier relatif :

Si n = 5k, n est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5.

Si n = 5k + 1, alors n-1 = 5k est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k + 2, alors n² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 = 5(5k² + 4k + 1) est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k+3 alors n²+1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 5(5k²+6k+2) est divisible par 5 donc n(n^4-1) est divisible par 5

Si n = 5k+4, alors n+1 = 5k+5 = 5(k+1) est divisible par 5, donc n(n^4-1) est divisible par 5.

Dans tous les cas, n(n^4-1) est divisible par 5  

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