louisdl
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bonjour merci pr vos éventuelles réponses

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 – 21x – 20.


1) Montrer que 5 est une racine de f(x).

2) Expliquer pourquoi il existe des réels a, b et c tels que f(x) = (x - 5)(ax2 + bx + c).

3) Développer et réduire (x - 5)(ax2 + bx + c) et en déduire les coefficients a, b et c. b
Indication : Si les coefficients des termes de même degré de deux polynômes sont égaux, alors ces polynomes sont égaux.

4) Résoudre alors l'équation f(x) = 0. ​

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

5³-21*5-20=125-105-20=0

Donc x=5 est racine de :

x³-2x-20=0.

2)

Supposons vrai :

f(x)=(x-5)(ax²+bx+c)

Alors f(x)=0 implique :

x-5=0 OU ax²+bx+c=0.

x=5 ou ax²+bx+c=0

5 est  donc   bien racine comme montré en 1).

Notre supposition : f(x)=(x-5)(ax²+bx+c) est vérifiée.

3)

Tu développes tout seul et à la fin , tu trouves à la fin :

f(x)=ax³+(b-5a)x²+(c-5b)x-5c

Par identification avec f(x)=x³-21x-20 , il faut :

a=1

b-5a=0 ==>b-5=0 ==>b=5

c-5b=-21 ==>c-25=-21 ==> c=4

-5c=-20 ==> c =4

Donc :

f(x)=(x-5)(x²+5x+4)

4)

On résout donc seulement :

x²+5x+4=0 ==>tu peux calculer Δ=b²-4ac , etc. ou remarquer :

x=-1 est racine évidente car (-1)²+5(-1)+4=1-5+4=0

Donc :

x²+5x+4=(x+1)(x+4)

x²+5x+4=0 donne :

(x+1)(x+4)=0

x+1=0 OU x+4=0

x=-1 OU x=-4

f(x)=0 a 3 racines :

x=5 ; x=-1 ; x=-4

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