Réponse :
f(x) = 3 - 1/(x+1) définie sur J = [0 ; + ∞[
a) calculer f ' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J
la fonction f est dérivable sur J et sa dérivée f ' est :
f '(x) = 1/(x + 1)²
puisque (x + 1)² > 0 et 1 > 0 donc 1/(x + 1)² > 0 donc f '(x) > 0
donc f est croissante sur J
b) pour tout entier n ∈ N ; on a; Un+1 = f(Un) et U0 = 5
En utilisant le résultat de la question précédente et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un ≥ 0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un)
* Initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(n) est vraie
U0 = 5 ≥ 0 donc P(0) est vraie
* Hérédité : on suppose par hypothèse qu'au rang n; P(n) est vraie c'est à dire Un ≥ 0 et montrons que P(n+1) est vraie
en partant que Un ≥ 0 ⇔ Un + 1 ≥ 1 ⇔ - (Un + 1) ≤ - 1
⇔ - 1/(Un + 1) ≥ - 1 (car la fonction f est croissante sur J)
⇔ 3 - 1/(Un + 1) ≥ - 1 + 3 ⇔ Un+1 ≥ 2 ≥ 0 donc Un+1 ≥ 0
donc P(n+1) est vraie
* conclusion : P(0) est vraie au rang n = 0 et par hérédité P(n) est vraie au rang n ; donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
étant donné que Un+1 = f(Un)
f est dérivable sur J et f '(x) > 0 sur J donc f est croissante sur J et (Un) est croissante sur N
c) démontrer que la suite (Un) converge
montrons que la suite (Un) est majorée par 3
on écrit Un ≤ 3 ⇔ Un - 3 ≤ 0 et étudions son signe
Un - 3 = 3 - 1/(Un + 1) - 3
= - 1/(Un + 1) or Un ≥ 0 donc Un + 1 > 0 et - 1 < 0 donc
- 1/(Un + 1) < 0 donc Un - 3 < 0 ⇔ Un < 3 donc la suite (Un) est majorée par 3
puisque (Un) est croissante sur N donc (Un) est convergente
4) déterminer la limite L de cette suite
lim (3 - 1/(Un + 1) = L = 3
n→ + ∞
Explications étape par étape :
