Réponse :
f(x) = x³ définie sur R
1) a) montrer que pour tout réel h ≠ 0 , (f(1+h) - f(1))/h = h²+3 h + 3
(f(1+h) - f(1))/h = ((1+h)³ - 1)/h = [(1+3h+3h²+h³) - 1]/h = (h³ + 3 h² + 3 h)/h
= h(h² + 3 h + 3)/h = h² + 3 h + 3
b) en déduire que la fonction f est dérivable en 1 et préciser le nombre dérivé de f en 1
lim (f(1+h) - f(1))/h = L donc lim (h²+3h+3) = 3
h→0 h→0
donc L = 3 donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé est f '(1) = 3
2) soit a un réel quelconque
a) montrer que, que pour tout réel h ≠ 0, (f(a+h) - f(a))/h = h²+3ah+3a²
f(a+h) = (a+h)³ = (a + h)(a² + 2ah + h²) = a³ + 2a²h+ah²+ha² + 2ah²+ h³
= h³ + 3a²h+ 3ah²+a³
(f(a+h) - f(a))/h = (h³ + 3a²h+ 3ah²+a³ - a³)/h = (h³ + 3a²h+ 3ah²)/h
= h((h² + 3ah+ 3a²)/h = h²+3ah + 3a²
b) en déduire que la fonction f est dérivable en a et préciser le nombre dérivé de f en a
lim (f(a+h) - f(a))/h = L donc lim (h²+3ah+3a²) = 3a²
h→0 h→0
donc L = 3a² donc la fonction f est dérivable en a et son nombre dérivé est f '(a) = 3a²
3) déterminer une équation de T, la tangente à Cf en sont point d'abscisse 1
l'équation de la tangente T s'écrit y = f(a) + f '(a)(x - a)
pour a = 1 ⇒ y = 1 + 3(x - 1) = 3 x - 2
Explications étape par étape :