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Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe-3x a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) En déduire les variations de la fonction f.

Exercice 2 Suite à une infection, le nombre de bactéries contenues dans un organisme en fonction du temps (en heures) peut être modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] et telle que f'(t) = 0,14f(t).
1) Montrer que la fonction f définie sur [0 ; 10) par f(t) = Ae0,14t convient.
2) On suppose que f(0) = 50000. Déterminer A. 3) Déterminer les variations de f sur [0 ; 10). 4) a) À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millier près du nombre de bactéries après 3h puis 5h30. b) À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries a-t-il doublé. Arrondir à l'heure près.​

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Ex1) je pense que c'est f(x)=xe^-3x (e puissance -3x)

cette fonction est définie sur R

limites

si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers 0+

Dérivée:   f(x) est une fonction produit  u*v sa dérivée est f'(x)=u'v+v'u

f'(x)=1*e^-3x-3x*e^-3x  on factorise

f'(x)=(1-3x)e^-3x

f'(x)=0 pour x=1/3

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                                     1/3                                       +oo

f'(x)                  +                        0                   -

f(x)  -oo      croi                       f(1/3)         décroi                 0+

f(1/3)=(1/3)*e^-1=1/3e

on note aussi que f(0)=0

ex2)semblable à l'exercice précédent

1) f(t)=A*e^0,14t

dérivée: f'(t)=A*0,14*e^0,14t  soit 0,14 f(t)

2) On sait que f(0)=50000 donc A*e^0=50000 comme e^0=1   A=50000

donc f(t)=50000e^0,14t   sur [0;10]

3)Valeurs aux bornes t=0   f(0)=50000

et t=10 f(10)=50000 *e^1,4=203000 environ

Dérivée f'(t)=5000 *0,14 e^0,14t  soit 0,14*f(t)

f'(t) est tjrs>0  donc f(t) est croissante

4a) f(3)=50000*e^0,42=76000  environ

f(5,5)=50000*e^(0,14*5,5)=50000*e^077=108000 environ

4b)il faut résoudre l'équation f(t)=100000

soit 50000*^0,14t=100000 ou e^0,14t=2

on passe par le ln

0,14t=ln2

t=ln2/0,14=5heures

,

       

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