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Bonjour pouvez vous m’aider avec cet exercice de math niveau 2nd svp ( livre « le livre scolaire » )
Merci d’avance

Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N=a^2– b^2 où a et b sont deux
entiers naturels.
1. Montrer que a et b n'ont pas la même parité.
2. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux
entiers naturels p et q.
3. Quelle est la parité de p et de q ?

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Supposons que a et b soient tous deux pairs.

Alors on peut écrire :

a=2m et b=2n

a²-b²=(2m)²-(2n)²=4m²-4n²=4(m²-n²) qui est pair donc contraire à l'énoncé.

Donc : a et b ne peuvent pas être tous deux pairs.

Supposons que a et b soient tous deux impairs.

Alors on peut écrire :

a=2m+1 et b=2n+1

a²-b²=(2m+1)²-(2n+1)²=4m²+4m+1-4n²-4n-1=4(m²+m-n²-n) qui est pair donc contraire à l'énoncé.

Donc : a et b ne peuvent pas être tous deux impairs.

Conclusion :

a et b sont de parité différente.

2)

N=a²-b²=(a+b)(a-b) . Vu en 3ème : OK ?

Donc :

p=a+b et q=a-b

Comme a et b sont de parité différente , on peut poser :

a=2m et b=2n+1 ou le contraire , c'est sans importance.

Donc :

p=2m+2n+1=2(m+n)+1  qui est impair car 2(m+n) est pair donc le nombre naturel suivant est impair.

q=2m-(2n+1)=2m-2n-1=2(m-n)-1 qui est impair car 2(m-n) est pair donc le nombre naturel précédent  est impair.

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