Bonsoir :)
Réponse en explications étape par étape :
# Exercice : Sur la figure suivante, ABCD est un carré, E est sur [AD) et F est sur [AB). On cherche à savoir si les points E, C et F sont alignés :
- Questions :
1. On note x la mesure de BCF et y la mesure de CFB. Calculer x + y :
a. Calcul de BCF et CFB :
On considère le triangle CBF rectangle en B :
Alors : CBF = B = 90°.
Et sachant que la somme des angles dans un triangle est égale à 180° :
Alors : CBF + CFB + BCF = 180°
90° + CFB + BCF = 180°
CFB + BCF = 180° - 90°
CFB + BCF = 90°
Et sachant que : CFB = BCF :
Alors : CFB + BCF = 90°
2CFB = 90°
CFB = 90°/2
CFB = 45°
===> D'où BCF = CFB = 45° = x = y.
b. Calcul de x + y :
x + y = BCF + CFB
x + y = 45° + 45°
x + y = 90°
2. a. Si on suppose que les points E, C et F sont alignés, quelle serait le mesure de l'angle ECD ?
On considère le triangle ECD rectangle en D :
Alors : EDC = D = 90°.
Et sachant que la somme des angles dans un triangle est égale à 180° :
Alors : EDC + ECD + DEC = 180°
90° + ECD + DEC = 180°
ECD + DEC = 180° - 90°
ECD + DEC = 90°
Et sachant que : ECD = DEC = 90°
Alors : ECD + DEC = 90°
2ECD = 90°
ECD = 90°/2
ECD = 45°
===> D'où ECD = DEC = 45°.
2. b. Les triangles CBF et EDC sont-ils semblables ? Justifier :
On a : EDC = CBF = 90° et ECD = DEC = CFB = BCF = 45°
===> D'où les triangles CBD et EDC sont semblables.
3. Conclure sur l'alignement des points :
Pour que les points E, C et F soient alignés il faut que l'angle ECF soit plat et donc 180°.
Et sachant que : DCF = 90°.
Alors : ECF = ECD + DCB + BCF
ECF = 45° + 90° + 45°
ECF = 90° + 90°
ECF = 180°
===> D'où les points E, C et F sont alignés.
Voilà
